Tóm tắt kiến thức: Chuyên đề hệ thống hóa các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc (từ 0° đến 180°), kết hợp phân tích d...
Tóm tắt kiến thức: Chuyên đề hệ thống hóa các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc (từ 0° đến 180°), kết hợp phân tích dấu trên từng góc phần tư để xác định chính xác các giá trị lượng giác còn lại khi đã biết trước một tỉ số.
I. Kiến thức và phương pháp giải
Để tính các giá trị lượng giác của một góc khi biết một giá trị lượng giác, ta sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản sau:
(1) \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)
(2) \(\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1 \quad (\alpha \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ)\)
(3) \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \quad (\alpha \neq 90^\circ)\)
(4) \(\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \quad (\alpha \neq 0^\circ, 180^\circ)\)
(5) \(1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} \quad (\alpha \neq 90^\circ)\)
(6) \(1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha} \quad (\alpha \neq 0^\circ, 180^\circ)\)
Lưu ý quan trọng: Cần dựa vào miền giá trị của góc \(\alpha\) để xác định chính xác dấu của \(\sin\alpha\) và/hoặc \(\cos\alpha\).
II. Bài tập vận dụng
Ví dụ 2.1: Thực hiện các yêu cầu sau:
(1) Cho \(\sin\alpha = \dfrac{1}{3}\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Tính \(\cos\alpha\) và \(\tan\alpha\).
(2) Cho \(\cos\alpha = -\dfrac{2}{3}\) và \(\sin\alpha > 0\). Tính \(\sin\alpha\) và \(\cot\alpha\).
(3) Cho \(\tan\alpha = -2\sqrt{2}\). Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc \(\alpha\).
Lời giải Ví dụ 2.1:
(1) Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\) nên \(\cos\alpha < 0\). Áp dụng hệ thức \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), ta suy ra:
\[\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \dfrac{1}{9}} = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\]
Do đó:
\[\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}} = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\]
(2) Vì \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) và \(\sin\alpha > 0\), nên:
\[\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{4}{9}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\]
Và:
\[\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{\sqrt{5}}{3}} = -\dfrac{2}{\sqrt{5}}\]
(3) Vì \(\tan\alpha = -2\sqrt{2} < 0 \Rightarrow \cos\alpha < 0\). Mặt khác:
\[\tan^2\alpha + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} \Rightarrow \cos\alpha = -\sqrt{\dfrac{1}{\tan^2\alpha + 1}} = -\sqrt{\dfrac{1}{8 + 1}} = -\dfrac{1}{3}\]
Ta có:
\[\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \Rightarrow \sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = -2\sqrt{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\]
\[\Rightarrow \cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}} = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\]
Ví dụ 2.2: Thực hiện các yêu cầu sau:
(1) Cho \(\sin\alpha = \dfrac{1}{3}\) và \(\alpha \in (90^\circ; 180^\circ)\). Tính giá trị của \(\cos\alpha\) và \(\tan\alpha\).
(2) Cho \(\tan\alpha = -\dfrac{3}{4}\) và \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Tính \(\sin\alpha\).
(3) Cho \(\cos\alpha = -\dfrac{12}{13}\) và \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Tính \(\sin\alpha\) và \(\tan\alpha\).
(4) Cho \(\tan\alpha = 2\), tính giá trị của biểu thức \(M = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\).
Lời giải Ví dụ 2.2:
(1) Do \(\alpha \in (90^\circ; 180^\circ)\) nên \(\cos\alpha < 0\).
Mặt khác \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} \Rightarrow \cos\alpha = \pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\]
Khi đó \(\cos\alpha = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\). Từ đó suy ra \(\tan\alpha = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\).
(2) Ta có:
\[\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tan^2\alpha = 1 + \dfrac{9}{16} = \dfrac{25}{16} \Rightarrow \cos^2\alpha = \dfrac{16}{25}\]
Từ đó suy ra: \[\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25} \Rightarrow \sin\alpha = \pm\dfrac{3}{5}\]
Do \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\) nên \(\sin\alpha > 0\), do đó \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\).
(3) Ta có:
\[\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \dfrac{144}{169} = \dfrac{25}{169} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \sin\alpha = \dfrac{5}{13} \\ \sin\alpha = -\dfrac{5}{13} \end{array}\right.\]
Do \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\) nên \(\sin\alpha > 0\), do đó \(\sin\alpha = \dfrac{5}{13}\).
