Tóm tắt: Tài liệu tổng hợp kiến thức lý thuyết và các ví dụ minh họa phương pháp ứng dụng công thức xác suất có điều kiện để giải quyết các...
1. Công thức sử dụng
Nếu \(P(B) > 0\) thì \[P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\]
Trong đó:
- \(P(A|B)\) là xác suất của biến cố \(A\) xảy ra khi biết rằng biến cố \(B\) đã xảy ra.
- \(P(AB)\) là xác suất của cả hai biến cố \(A\) và \(B\) xảy ra đồng thời.
- \(P(B)\) là xác suất của biến cố \(B\) xảy ra.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Trong một hộp có 4 viên bi màu trắng và 9 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy lần lượt mỗi lần một viên bi trong hộp, không trả lại. Tính xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đen, biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất cũng là màu đen.
Hướng dẫn giải
Gọi \(A\) là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu đen”.
Gọi \(B\) là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đen”.
Suy ra \(AB\) là biến cố “cả 2 lần lấy viên bi màu đen”.
Ta có xác suất của biến cố \(A\) là:
\[P(A) = \frac{9 \cdot 12}{13 \cdot 12} = \frac{9}{13}; \quad P(AB) = \frac{9 \cdot 8}{13 \cdot 12} = \frac{6}{13}\]
Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đen, biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất cũng là màu đen là:
\[P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{6}{13} : \frac{9}{13} = \frac{2}{3}\]
Ví dụ 2. Trong một hộp có 18 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh, các quả bóng có kích thước như nhau. Một học sinh lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả bóng trong hộp và không hoàn lại. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Xác suất để lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh là \(\frac{1}{20}\).
b) Xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng xanh là \(\frac{1}{19}\), biết lần thứ nhất lấy được quả bóng xanh.
c) Xác suất để cả hai lần đều lấy được quả bóng xanh là \(\frac{1}{190}\).
d) Xác suất để ít nhất 1 lần lấy được quả bóng đỏ là \(\frac{189}{190}\).
Hướng dẫn giải
Xét các biến cố:
\(A\): “Lần thứ nhất lấy được quả bóng xanh”;
\(B\): “Lần thứ hai lấy được quả bóng xanh”.
a) Xác suất để lấy được quả bóng xanh ở lần thứ nhất là \[P(A) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}\]
Câu a) sai.
b) Sau khi lấy được quả bóng xanh ở lần thứ nhất thì trong hộp còn 1 quả bóng xanh. Do đó xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng xanh, biết lần thứ nhất cũng lấy được quả bóng xanh là \[P(B|A) = \frac{1}{19}\]
Câu b) đúng.
c) Gọi \(C\): “Cả hai lần lấy được quả bóng xanh”. Ta có biến cố \(C\) là biến cố giao của hai biến cố \(A\) và \(B\), do đó:
\[P(C) = P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{19} = \frac{1}{190}\]
Câu c) đúng.
d) Ta có \(\overline{C}\): “Ít nhất một lần lấy được quả bóng đỏ” do đó:
\[P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{190} = \frac{189}{190}\]
Câu d) đúng.
Ví dụ 3. Nhà nghiên cứu chọn 5000 người đàn ông, với mỗi người trong nhóm, nhà nghiên cứu kiểm tra xem họ có nghiện thuốc lá và bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:
| Viêm phổi | Không viêm phổi | |
|---|---|---|
| Nghiện thuốc lá | 750 | 1238 |
| Không nghiện thuốc lá | 572 | 2440 |
Tính xác suất để người đó bị viêm phổi trong khi người đó không nghiện thuốc lá (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega) = 5000\).
