Tóm tắt lý thuyết trọng tâm: Chuyên đề tổng hợp phương pháp tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân \(S_n = u_1 + u_2 + \dots...
Tóm tắt lý thuyết trọng tâm: Chuyên đề tổng hợp phương pháp tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân \(S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n\), phân loại theo từng trường hợp công bội \(q = 1\) và \(q \ne 1\). Kèm theo đó là các dạng bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao như: tính tổng dãy phân số, tổng bình phương, tổng các số cấu tạo đặc biệt (5, 55, 555,...) và bài toán giải phương trình chứa tổng cấp số nhân.
Dạng 3. Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Phương pháp
Cho cấp số nhân \((u_n)\) với công bội \(q \ne 1\).
Đặt \(S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n\).
- Nếu \(q = 1\) thì \(S_n = n \cdot u_1\).
- Nếu \(q \ne 1\) thì \(S_n = \dfrac{u_1(1-q^n)}{1-q}\).
Ví dụ 3.1
Tính tổng sau: \(A = 2 - 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{512}\)
Lời giải
Ta có các số hạng trong tổng lập thành cấp số nhân với:
\[\begin{cases} u_1 = 2, q = -\dfrac{1}{2} \\ u_n = \dfrac{1}{512} = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u_1 = 2, q = -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{1024} = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u_1 = 2, q = -\dfrac{1}{2} \\ n = 11 \end{cases}\]
Suy ra:
\[A = S_{11} = u_1 \cdot \dfrac{q^{11} - 1}{q - 1} = 2 \cdot \dfrac{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{11} - 1}{-\dfrac{1}{2} - 1} = \dfrac{638}{512}\]
Ví dụ 3.2
Cho \(n\) là số tự nhiên \(\ge 2\), tính tổng sau: \(S_n = \left(2 + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(2^2 + \dfrac{1}{2^2}\right)^2 + \dots + \left(2^n + \dfrac{1}{2^n}\right)^2\)
Lời giải
Ta có:
\[\begin{aligned} S_n &= \left(2 + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(2^2 + \dfrac{1}{2^2}\right)^2 + \dots + \left(2^n + \dfrac{1}{2^n}\right)^2 \\ &= \left(2^2 + 2^4 + 2^6 + \dots + 2^{2n}\right) + \left(\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{2^6} + \dots + \dfrac{1}{2^{2n}}\right) + 2n \\ &= 2^2 \cdot \dfrac{2^{2n} - 1}{3} + \dfrac{1}{2^2} \cdot \dfrac{1 - \dfrac{1}{2^{2n}}}{1 - \dfrac{1}{4}} + 2n = \dfrac{2^{2n+2} - 4}{3} + \dfrac{1 - \dfrac{1}{2^{2n}}}{3} + 2n = \dfrac{2^{2n} - \dfrac{1}{2^{2n}} - 3}{3} + 2n \end{aligned}\]
Ví dụ 3.3
Tính tổng sau: \(S_n = 5 + 55 + 555 + \dots + \underbrace{555\dots 5}_{n}\)
Lời giải
\[\begin{aligned} S_n &= 5 + 55 + 555 + \dots + \underbrace{555\dots 5}_{n} = 5\left(1 + 11 + 111 + \dots + \underbrace{111\dots 1}_{n}\right) \\ &= \dfrac{5}{9}\left((10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1)\right) = \dfrac{5}{9}\left(10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n - n\right) \\ &= \dfrac{5}{9}\left(10 \cdot \dfrac{10^n - 1}{9} - n\right) = \dfrac{5}{81} \cdot 10^{n+1} - \dfrac{50}{81} - \dfrac{5n}{9} \end{aligned}\]
Ví dụ 3.4
Giải phương trình sau: \(2 + 4 + 8 + \dots + y = 1022\) biết \(y\) là số hạng thứ \(n\) của cấp số nhân.
Lời giải
Ta có các số hạng trong tổng lập thành cấp số nhân với:
\[\begin{cases} u_1 = 2, q = 2 \\ u_n = y; S_n = 1022 \end{cases} \Rightarrow 1022 = 2 \cdot \dfrac{2^n - 1}{2 - 1}\]
\[2^n = 512 = 2^9 \Rightarrow n = 9 \Rightarrow y = u_9 = 512\]
Vậy \(y = 512\).
Ví dụ 3.5
Giải phương trình sau: \(5^2 \cdot 5^4 \cdot 5^8 \dots 5^{2x} = (0{,}04)^{-63}\).
Lời giải
\[5^2 \cdot 5^4 \cdot 5^8 \dots 5^{2x} = (0{,}04)^{-63} \Leftrightarrow 5^{2 + 4 + 8 + \dots + 2x} = \left(\dfrac{1}{25}\right)^{-63} \Leftrightarrow 2 + 4 + 8 + \dots + 2x = 126\]
Ta có các số hạng trong tổng lập thành cấp số nhân với \(\begin{cases} u_1 = 2, q = 2 \\ u_x = 2x; S_x = 126 \end{cases} \Rightarrow 126 = 2 \cdot \dfrac{2^x - 1}{2 - 1}\).
Khi đó:
\[2 + 4 + 8 + \dots + 2x = 126 \Leftrightarrow 2 \cdot \dfrac{2^x - 1}{2 - 1} = 126 \Leftrightarrow 2^x - 1 = 63 \Leftrightarrow 2^x = 64 \Leftrightarrow x = 6\]
Vậy \(x = 6\).
