Tóm tắt Lý thuyết Cấp số cộng môn Toán 11 đầy đủ nhất

Tài liệu tổng hợp đầy đủ lý thuyết Cấp số cộng Toán lớp 11. Nội dung bao gồm định nghĩa cấp số cộng, công sai, công thức xác định số hạng t...

Tài liệu tổng hợp đầy đủ lý thuyết Cấp số cộng Toán lớp 11. Nội dung bao gồm định nghĩa cấp số cộng, công sai, công thức xác định số hạng tổng quát, các tính chất đặc trưng giữa các số hạng và phương pháp tính tổng n số hạng đầu tiên kèm bài chứng minh chi tiết.

1. Định nghĩa Cấp số cộng

Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi \(d\).

Nghĩa là: \(u_{n+1} = u_n + d\) với \(n \in \mathbb{N}^*\).

Số không đổi \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.

Đặc biệt: Khi \(d = 0\) thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

2. Số hạng tổng quát

Định lý: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát của nó được xác định theo công thức:

\[u_n = u_1 + (n - 1)d, \quad \forall n \ge 1\]

3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lý: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều bằng trung bình cộng của hai số hạng đứng liền kề với nó, nghĩa là:

\[u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}, \quad \forall k \ge 2\]

Hệ quả: Ba số \(a, b, c\) (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi \(a + c = 2b\).

4. Tổng của n số hạng đầu tiên

Định lý: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có công sai \(d\). Đặt \(S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n\) (\(S_n\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng).

Ta có công thức:

\[S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = n u_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d\]

5. Chứng minh công thức và các Nhận xét

Chứng minh công thức tính tổng \(S_n\):

Ta có:

\[S_n = u_1 + (u_1 + d) + (u_1 + 2d) + \dots + [u_1 + (n - 2)d] + [u_1 + (n - 1)d] \quad (1)\]

Mặt khác:

\[S_n = u_n + (u_n - d) + (u_n - 2d) + \dots + [u_n - (n - 2)d] + [u_n - (n - 1)d] \quad (2)\]

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

\[2S_n = n(u_1 + u_n) \Rightarrow S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}\]

Do \(u_n = u_1 + (n - 1)d\) nên:

\[S_n = \frac{n[u_1 + u_1 + (n - 1)d]}{2} = n u_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d\]

---

Nhận xét:

1. Nếu \((u_n)\) là một cấp số cộng thì mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là \(u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}\) với \(k \ge 2\).

2. Cấp số cộng \((u_n)\) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai \(d > 0\).

3. Cấp số cộng \((u_n)\) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai \(d < 0\).

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]