Tóm tắt nội dung: Tài liệu tuyển chọn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm chuyên đề Cấp số nhân (Toán lớp 11) từ cơ bản đến nâng cao. Nội dung gồ...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu tuyển chọn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm chuyên đề Cấp số nhân (Toán lớp 11) từ cơ bản đến nâng cao. Nội dung gồm nhận dạng dãy số là cấp số nhân, tìm công thức số hạng tổng quát, điều kiện các số lập thành cấp số nhân kèm theo hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài toán.
LUYỆN TẬP: TRẮC NGHIỆM CẤP SỐ NHÂN (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT)
Câu 1. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. \(1; -3; 9; -27; 54\).
B. \(1; 2; 4; 8; 16\).
C. \(1; -1; 1; -1; 1\).
D. \(1; -2; 4; -8; 16\).
Lời giải
Chọn A
Dãy \(1; 2; 4; 8; 16\) là cấp số nhân với công bội \(q = 2\).
Dãy \(1; -1; 1; -1; 1\) là cấp số nhân với công bội \(q = -1\).
Dãy \(1; -2; 4; -8; 16\) là cấp số nhân với công bội \(q = -2\).
Dãy \(1; -3; 9; -27; 54\) không phải là cấp số nhân vì \(-3 = 1.(-3)\); \((-27).(-3) = 81 \ne 54\).
Câu 2. Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. \(1; 2; 3; 4; 5\).
B. \(1; 3; 6; 9; 12\).
C. \(2; 4; 6; 8; 10\).
D. \(2; 2; 2; 2; 2\).
Lời giải
Chọn D
Ta thấy ở đáp án D có \(u_1 = u_2 = u_3 = u_4 = u_5 = 2\) nên đây là cấp số nhân với công bội \(q = 1\).
Câu 3. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
A. \(1; 2; 3; 4; 5; 6; \dots\)
B. \(2; 4; 6; 8; 16; 32; \dots\)
C. \(-2; -3; -4; -5; -6; -7; \dots\)
D. \(1; 2; 4; 8; 16; 32; \dots\)
Lời giải
Chọn D
Nhận thấy \(\dfrac{u_2}{u_1} \ne \dfrac{u_3}{u_2}\) nên các dãy số ở đáp án A, B và C không phải là cấp số nhân.
Riêng đối với dãy \(1, 2, 4, 8, 16, 32, \dots\) ở đáp án D thỏa mãn: \(u_{n+1} = 2u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Vậy dãy số \(1, 2, 4, 8, 16, 32, \dots\) là cấp số nhân với \(u_1 = 1\) và công bội \(q = 2\).
Câu 4. Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:
A. \(1; 0{,}2; 0{,}04; 0{,}0008; \dots\)
B. \(2; 22; 222; 2222; \dots\)
C. \(x; 2x; 3x; 4x; \dots\)
D. \(1; -x^2; x^4; -x^6; \dots\)
Lời giải
Chọn D
Dãy số: \(1; -x^2; x^4; -x^6; \dots\) là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1 = 1\); công bội \(q = -x^2\).
Câu 5. Xác định \(x\) để 3 số \(x - 2; x + 1; 3 - x\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:
A. Không có giá trị nào của \(x\).
B. \(x = \pm 1\).
C. \(x = 2\).
D. \(x = -3\).
Lời giải
Chọn A
Ba số \(x - 2; x + 1; 3 - x\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân
\[\Leftrightarrow (x - 2)(3 - x) = (x + 1)^2\]
\[\Leftrightarrow 2x^2 - 3x + 7 = 0\]
Phương trình trên vô nghiệm, do đó không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn.
Câu 6. Trong các dãy số \((u_n)\) sau, dãy nào là cấp số nhân?
A. \(u_n = n^2 + n + 1\).
B. \(u_n = (n + 2) \cdot 3^n\).
C. \(\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = \dfrac{6}{u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}\)
D. \(u_n = (-4)^{2n+1}\).
Lời giải
Chọn D
A. \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^2 + n + 1}, \forall n \in \mathbb{N}^*\), không phải là hằng số. Vậy \((u_n)\) không phải là cấp số nhân.
B. \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{(n + 3) \cdot 3^{n+1}}{(n + 2) \cdot 3^n} = \dfrac{3(n + 3)}{n + 2}, \forall n \in \mathbb{N}^*\), không phải là hằng số. Vậy \((u_n)\) không phải là cấp số nhân.
C. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra \(u_1 = 2; u_2 = 3; u_3 = 2; u_4 = 3; \dots\)
Vì \(\dfrac{u_3}{u_2} \ne \dfrac{u_2}{u_1}\) nên \((u_n)\) không phải là cấp số nhân.
D. \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{(-4)^{2(n+1)+1}}{(-4)^{2n+1}} = 16, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Vậy \((u_n)\) là một cấp số nhân.
Câu 7. \(u_n\) được cho bởi công thức nào dưới đây là số hạng tổng quát của một cấp số nhân?
A. \(u_n = \dfrac{1}{2^{n+1}}\).
B. \(u_n = n^2 - \dfrac{1}{2}\).
C. \(u_n = \dfrac{1}{2^n} - 1\).
D. \(u_n = n^2 + \dfrac{1}{2}\).
Lời giải
Chọn A
\(u_n = \dfrac{1}{2^{n+1}} = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\) là số hạng tổng quát của một cấp số nhân có \(u_1 = \dfrac{1}{4}\) và \(q = \dfrac{1}{2}\).
\(u_n = n^2 - \dfrac{1}{2}\) có \(u_1 = \dfrac{1}{2}; u_2 = \dfrac{7}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot 7; u_3 = \dfrac{17}{2} \ne \dfrac{7}{2} \cdot 7\) nên không phải số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
\(u_n = \dfrac{1}{2^n} - 1\) có \(u_1 = -\dfrac{1}{2}; u_2 = -\dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2}; u_3 = -\dfrac{7}{8} \ne -\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{2}\) nên không phải số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
\(u_n = n^2 + \dfrac{1}{2}\) có \(u_1 = \dfrac{3}{2}; u_2 = \dfrac{9}{2} = \dfrac{3}{2} \cdot 3; u_3 = \dfrac{19}{2} \ne \dfrac{9}{2} \cdot 3\) nên không phải số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
Câu 8. Cho dãy số \((u_n)\) có số hạng tổng quát là \(u_n = 3 \cdot 2^{n+1} \; (\forall n \in \mathbb{N}^*)\). Chọn kết luận đúng:
A. Dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1 = 12\).
B. Dãy số là cấp số cộng có công sai \(d = 2\).
C. Dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = 6\).
D. Dãy số là cấp số nhân có công bội \(q = 3\).
Lời giải
Chọn A
Dãy số \((u_n)\) có số hạng tổng quát là \(u_n = 3 \cdot 2^{n+1} \; (\forall n \in \mathbb{N}^*) \Rightarrow u_{n+1} = 3 \cdot 2^{n+2} = 2 \cdot (3 \cdot 2^{n+1}) = 2 u_n\).
Do đó dãy số là cấp số nhân với công bội \(q = 2\) và số hạng đầu \(u_1 = 3 \cdot 2^{1+1} = 12\).
