Tóm tắt nội dung: Tài liệu phân tích và tuyển chọn các dạng bài toán xác suất cổ điển trọng tâm từ các kỳ thi THPT Quốc gia và đề tham khả...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu phân tích và tuyển chọn các dạng bài toán xác suất cổ điển trọng tâm từ các kỳ thi THPT Quốc gia và đề tham khảo. Qua các năm, đề thi thể hiện sự dịch chuyển rõ rệt từ dạng bài đếm cơ bản đơn thuần sang các bài toán tổng hợp yêu cầu vận dụng linh hoạt nhiều kỹ năng như nguyên lý vách ngăn, phân lớp đồng dư, đếm nâng cao và tư duy hình học.
1. Bảng tổng hợp xu hướng và kỹ thuật then chốt
| Năm | Nội dung | Kĩ thuật then chốt |
|---|---|---|
| MH 2018 | Chọn 2 quả cầu cùng màu; xếp 10 học sinh không có hai bạn cùng lớp đứng cạnh nhau | Tổ hợp; vách ngăn nhiều tầng |
| 2018 | Lấy 3 quả cầu xanh; ba bạn viết số có tổng chia hết cho 3 | Tổ hợp; phân lớp đồng dư |
| MH 2019, 2019 | Tổng các chữ số lẻ; hai số có tổng chẵn | Chẵn lẻ, \(a_1 \neq 0\) |
| 2020 – 2022 | Không có hai chữ số liên tiếp cùng chẵn; hai số chẵn; tổng chẵn | Chia trường hợp vị trí, chẵn lẻ |
| 2024 | Hai quả bóng khác màu, tổng số chẵn | Kết hợp hai thuộc tính |
| 2025 | Mật thư – ba bộ ba lập cấp số cộng | Chẵn lẻ + cấp số cộng + loại suy biến |
| 2026 | Lắp đèn trên đa giác đều 12 cạnh | Phân hoạch đỉnh thành 3 hình vuông |
Nhận xét: Xu hướng rất rõ: từ những câu “đếm một bước” (2018 – 2022), đề thi chuyển dần sang các câu tổng hợp nhiều ý tưởng và gắn hình học (2025, 2026), ở dạng trả lời ngắn – không còn phương án để “thử ngược”.
2. Các câu hỏi minh họa và lời giải chi tiết
Câu 1 (Đề minh hoạ THPT quốc gia 2018)
Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả màu xanh và 6 quả màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu.
Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả màu xanh và 6 quả màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu.
Lời giải:
\[P = \frac{C_5^2 + C_6^2}{C_{11}^2} = \frac{10 + 15}{55} = \frac{5}{11}\]
Câu 2 (Đề minh hoạ THPT quốc gia 2018 - Đề HSG lớp 11 Thanh Hoá 2017 – 2018)
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Tính xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Tính xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.
Lời giải:
Ta có \(n(\Omega) = 10!\). Xếp 5 bạn 12C trước (có \(5!\) cách), tạo ra 6 khe đánh số 1 đến 6 (với khe 1 và khe 6 ở hai đầu). Năm bạn lớp 12A, 12B phải được đặt vào các khe sao cho bốn khe giữa (2, 3, 4, 5) đều có người (để hai bạn 12C không đứng cạnh nhau), và trong mỗi khe không có hai bạn cùng lớp đứng cạnh nhau.
Ta có \(n(\Omega) = 10!\). Xếp 5 bạn 12C trước (có \(5!\) cách), tạo ra 6 khe đánh số 1 đến 6 (với khe 1 và khe 6 ở hai đầu). Năm bạn lớp 12A, 12B phải được đặt vào các khe sao cho bốn khe giữa (2, 3, 4, 5) đều có người (để hai bạn 12C không đứng cạnh nhau), và trong mỗi khe không có hai bạn cùng lớp đứng cạnh nhau.
- Trường hợp 1: Dùng 5 khe liên tiếp (khe 1–5 hoặc 2–6), mỗi khe một bạn: \(2 \cdot 5! = 240\) cách.
- Trường hợp 2: Dùng đúng 4 khe giữa, một khe chứa 2 bạn (một 12A và một 12B, xếp AB hoặc BA), ba khe còn lại mỗi khe 1 bạn. Chọn khe chứa 2 bạn (4 cách), chọn một bạn 12A và một bạn 12B cho khe đó (\(2 \cdot 3\) cách), thứ tự trong khe (2 cách), xếp 3 bạn còn lại vào 3 khe (\(3!\) cách): \(4 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 6 = 288\) cách.
\[P = \frac{63\,360}{10!} = \frac{11}{630}\]
Câu 3 (Đề thi THPT quốc gia 2018, mã đề 101)
Từ một hộp chứa 11 quả cầu màu đỏ và 4 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh.
Từ một hộp chứa 11 quả cầu màu đỏ và 4 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh.
Lời giải:
\[P = \frac{C_4^3}{C_{15}^3} = \frac{4}{455}\]
Câu 4 (Đề thi THPT quốc gia 2018, mã đề 101)
Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn \([1; 17]\). Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3.
Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn \([1; 17]\). Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3.
Lời giải:
Ta có \(n(\Omega) = 17^3 = 4913\) (ba bạn viết độc lập, có thể trùng).
Trong đoạn \([1; 17]\):
- Lớp dư 0 có 5 số: \(\{3; 6; \dots; 15\}\)
- Lớp dư 1 có 6 số
- Lớp dư 2 có 6 số
Tổng ba số chia hết cho 3 khi ba số cùng thuộc một lớp dư, hoặc ba số thuộc ba lớp dư khác nhau (có \(3!\) cách gán lớp cho ba bạn):
Ta có \(n(\Omega) = 17^3 = 4913\) (ba bạn viết độc lập, có thể trùng).
Trong đoạn \([1; 17]\):
- Lớp dư 0 có 5 số: \(\{3; 6; \dots; 15\}\)
- Lớp dư 1 có 6 số
- Lớp dư 2 có 6 số
Tổng ba số chia hết cho 3 khi ba số cùng thuộc một lớp dư, hoặc ba số thuộc ba lớp dư khác nhau (có \(3!\) cách gán lớp cho ba bạn):
\[n(A) = 5^3 + 6^3 + 6^3 + 3! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6 = 125 + 216 + 216 + 1080 = 1637\]
Vậy \(P = \frac{1637}{4913}\).Câu 5 (Đề minh hoạ THPT quốc gia 2019)
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là số lẻ.
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là số lẻ.
Lời giải:
Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau: \(n(\Omega) = 9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\).
Tổng ba chữ số là số lẻ khi xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
Vậy \(P = \frac{320}{648} = \frac{40}{81}\).
Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau: \(n(\Omega) = 9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\).
Tổng ba chữ số là số lẻ khi xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
- Ba chữ số đều lẻ: Có \(A_5^3 = 60\) số.
- Một chữ số lẻ, hai chữ số chẵn: Chọn 1 chữ số lẻ (5 cách), 2 chữ số chẵn trong tập \(\{0; 2; 4; 6; 8\}\) (có \(C_5^2 = 10\) cách), hoán vị 3 chữ số (\(3!\) cách): có \(5 \cdot 10 \cdot 6 = 300\) cách. Trừ các số có chữ số 0 đứng đầu: bộ chứa số 0 gồm 1 lẻ và 0 cùng 1 chẵn khác có \(5 \cdot 4 = 20\) bộ, mỗi bộ có \(2! = 2\) cách xếp 0 đứng đầu: \(20 \cdot 2 = 40\) số. Do đó số thỏa mãn là \(300 - 40 = 260\) số.
Vậy \(P = \frac{320}{648} = \frac{40}{81}\).
