TÓM TẮT NỘI DUNG TÀI LIỆU Tài liệu tổng hợp các bài toán phương trình lượng giác mức độ vận dụng - vận dụng cao dưới hình thức câu hỏi trả ...
TÓM TẮT NỘI DUNG TÀI LIỆU
Tài liệu tổng hợp các bài toán phương trình lượng giác mức độ vận dụng - vận dụng cao dưới hình thức câu hỏi trả lời ngắn thuộc chương trình Toán 11. Các dạng bài bao gồm xác định số nghiệm trên khoảng cho trước, tính tổng các nghiệm, xác định tham số nguyên để phương trình có nghiệm và tìm công thức họ nghiệm. Tất cả các câu hỏi đều kèm theo đáp số và lời giải chi tiết.
CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 48. Họ nghiệm phương trình lượng giác: \(\cos(x + 30^\circ) + 1 = 0\) có dạng \(x = a^\circ + k \cdot b^\circ\; (k \in \mathbb{Z})\), với \(a, b\) là các số nguyên. Tính giá trị \(S = b - a\).
Lời giải:
Trả lời: 210
Ta có: \(\cos(x + 30^\circ) + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos(x + 30^\circ) = -1\)
\(\Leftrightarrow x + 30^\circ = 180^\circ + k360^\circ\; (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = 150^\circ + k360^\circ\; (k \in \mathbb{Z})\).
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = 150^\circ + k360^\circ\; (k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \begin{cases} a = 150 \\ b = 360 \end{cases} \Rightarrow S = 360 - 150 = 210\).
Câu 49. Phương trình lượng giác: \(\tan\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\) có họ nghiệm dạng \(x = \frac{\pi}{a} + k\frac{\pi}{b}\; (k \in \mathbb{Z})\), với \(a, b\) là các số nguyên. Tính giá trị \(T = a(a + b)\).
Lời giải:
Trả lời: 48
Ta có: \(\tan\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow \tan\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \tan\frac{\pi}{6}\)
\(\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{2}\; (k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \begin{cases} a = 6 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow T = 6(6 + 2) = 48\).
Câu 50. Họ nghiệm phương trình lượng giác: \(\sqrt{3}\tan\frac{\pi x}{2} = 3\) có dạng \(x = \frac{m}{n} + k \cdot b\; (k \in \mathbb{Z})\), với \(m, n\) là các số nguyên và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Tính giá trị \(P = m^n\).
Lời giải:
Trả lời: 8
Ta có: \(\sqrt{3}\tan\frac{\pi x}{2} = 3 \Leftrightarrow \tan\frac{\pi x}{2} = \sqrt{3} \Leftrightarrow \tan\frac{\pi x}{2} = \tan\frac{\pi}{3}\)
\(\Leftrightarrow \frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{2}{3} + 2k\; (k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \begin{cases} m = 2 \\ n = 3 \end{cases} \Rightarrow P = 2^3 = 8\).
Câu 51. Phương trình \(2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2 = 0\) có bao nhiêu nghiệm trên khoảng \((0; 2\pi)\)?
Lời giải:
Trả lời: 1
Ta có: \(2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2 = 0 \Leftrightarrow \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\).
Do \(x \in (0; 2\pi)\) nên \(0 < -\frac{\pi}{3} + k2\pi < 2\pi \Leftrightarrow \frac{1}{6} < k < \frac{7}{6} \Leftrightarrow k = 1\).
Vậy phương trình có một nghiệm \(x = \frac{5\pi}{3}\).
Câu 52. Cho phương trình \(\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right)\). Tìm số nghiệm thuộc khoảng \(\left(\frac{\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}\right)\) của phương trình.
Lời giải:
Trả lời: 5
\[\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} + k2\pi \\ 2x + \frac{\pi}{3} = -\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{15} + k\frac{4\pi}{5} \\ x = -\frac{5\pi}{9} + k\frac{4\pi}{3} \end{array}\right., k \in \mathbb{Z}.\]
+ Với \(x = \frac{\pi}{15} + k\frac{4\pi}{5}\), ta có: \(\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{15} + k\frac{4\pi}{5} < \frac{8\pi}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} < k < \frac{13}{4}, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow k \in \{1; 2; 3\}\).
Trường hợp này có 3 nghiệm thỏa mãn là: \(x = \frac{13\pi}{15}\), \(x = \frac{5\pi}{3}\), \(x = \frac{37\pi}{15}\).
+ Với \(x = -\frac{5\pi}{9} + k\frac{4\pi}{3}\), tương tự ta có 2 nghiệm thỏa mãn là: \(x = \frac{7\pi}{9}\), \(x = \frac{19\pi}{9}\).
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm phân biệt thỏa mãn đề bài.
Câu 53. Cho phương trình \(\cos x = \sin 3x\). Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng \((0; 2\pi)\) của phương trình (làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải:
Trả lời: 15,7
\[\cos x = \sin 3x \Leftrightarrow \cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{2} - 3x + k2\pi \\ x = -\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2} \\ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \end{array}\right., (k \in \mathbb{Z}).\]
+ Với \(x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}\), ta có: \(0 < \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2} < 2\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{4} < k < \frac{15}{4}\), vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{0; 1; 2; 3\}\).
Khi đó, các nghiệm thỏa mãn là: \(x = \frac{\pi}{8}\), \(x = \frac{5\pi}{8}\), \(x = \frac{9\pi}{8}\), \(x = \frac{13\pi}{8}\).
+ Với \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\), tương tự ta có các nghiệm thỏa mãn là: \(x = \frac{\pi}{4}\), \(x = \frac{5\pi}{4}\).
Vậy tổng các nghiệm thuộc khoảng \((0; 2\pi)\) của phương trình đã cho là:
\(\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{8} + \frac{9\pi}{8} + \frac{13\pi}{8} + \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 5\pi \approx 15,7\).
Câu 54. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm?
Lời giải:
Trả lời: 3
\(\cos x = m\) có nghiệm \(\Leftrightarrow -1 \le m \le 1\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{-1; 0; 1\}\).
Câu 55. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sin x - m = 1\) có nghiệm.
Lời giải:
Trả lời: 3
Ta có: \(\sin x - m = 1 \Leftrightarrow \sin x = m + 1\).
Điều kiện để phương trình có nghiệm là: \(-1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow -2 \le m \le 0\).
Vậy \(-2 \le m \le 0\) thỏa mãn đề bài. Có 3 giá trị nguyên của tham số \(m\).
Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(3\sin^2 x + \sin 2x - m\cos^2 x = 0\) có nghiệm.
Lời giải:
