Bài viết khai thác các tình huống đời sống thực tế thông qua công thức xác suất cổ điển: từ việc phân tích cơ hội trúng số độc đắc Mega 6/4...
Bài viết khai thác các tình huống đời sống thực tế thông qua công thức xác suất cổ điển: từ việc phân tích cơ hội trúng số độc đắc Mega 6/45, bài toán bảo mật ngân hàng với mã khóa OTP, cho đến tính toán xác suất khi giải đề thi trắc nghiệm (bao gồm cấu trúc câu hỏi Đúng/Sai trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT mới).
IV. ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Xác suất cổ điển không chỉ sống trong sòng bạc thế kỉ XVII. Sáu tình huống dưới đây cho thấy cùng một công thức \(\frac{n(A)}{n(\Omega)}\) giúp ta ra quyết định tỉnh táo hơn trong đời sống hằng ngày.
Tình huống 1. Xổ số tự chọn – giấc mơ một phần tám triệu
Xổ số Mega 6/45
Mỗi vé xổ số tự chọn Mega 6/45 gồm 6 số khác nhau chọn từ 1 đến 45; kết quả quay thưởng là 6 số khác nhau. Vé trúng giải đặc biệt (Jackpot) nếu trùng cả 6 số. Tính xác suất trúng Jackpot của một vé, và xác suất vé trùng đúng 3 số.
Mỗi vé xổ số tự chọn Mega 6/45 gồm 6 số khác nhau chọn từ 1 đến 45; kết quả quay thưởng là 6 số khác nhau. Vé trúng giải đặc biệt (Jackpot) nếu trùng cả 6 số. Tính xác suất trúng Jackpot của một vé, và xác suất vé trùng đúng 3 số.
Lời giải:
Ta có: \(n(\Omega) = C_{45}^6 = 8\,145\,060\).
Trúng Jackpot: 1 kết quả, \(P = \frac{1}{8\,145\,060} \approx 1{,}2 \cdot 10^{-7}\).
Trúng đúng 3 số: chọn 3 số trùng trong 6 số của vé và 3 số còn lại trong 39 số không có trên vé: \(C_6^3 \cdot C_{39}^3 = 20 \cdot 9139 = 182\,780\), nên:
Ta có: \(n(\Omega) = C_{45}^6 = 8\,145\,060\).
Trúng Jackpot: 1 kết quả, \(P = \frac{1}{8\,145\,060} \approx 1{,}2 \cdot 10^{-7}\).
Trúng đúng 3 số: chọn 3 số trùng trong 6 số của vé và 3 số còn lại trong 39 số không có trên vé: \(C_6^3 \cdot C_{39}^3 = 20 \cdot 9139 = 182\,780\), nên:
\[P = \frac{182\,780}{8\,145\,060} \approx 0{,}022.\]
Một phần tám triệu lớn cỡ nào?
Nếu mỗi tuần mua 3 vé (mỗi kì quay một vé, 3 kì một tuần), trung bình phải chờ khoảng \(\frac{8\,145\,060}{3 \cdot 52} \approx 52\,000\) năm mới trúng một lần. Theo nguyên lí xác suất bé, trúng Jackpot là biến cố "gần như không xảy ra" với một người cụ thể – dù ở quy mô cả nước, gần như chắc chắn sẽ có ai đó trúng sau đủ nhiều kì quay.
Nếu mỗi tuần mua 3 vé (mỗi kì quay một vé, 3 kì một tuần), trung bình phải chờ khoảng \(\frac{8\,145\,060}{3 \cdot 52} \approx 52\,000\) năm mới trúng một lần. Theo nguyên lí xác suất bé, trúng Jackpot là biến cố "gần như không xảy ra" với một người cụ thể – dù ở quy mô cả nước, gần như chắc chắn sẽ có ai đó trúng sau đủ nhiều kì quay.
Tình huống 2. Mật khẩu và mã OTP
Một mã OTP gồm 6 chữ số (từ 000000 đến 999999) được sinh ngẫu nhiên. Kẻ gian đoán bừa một lần thì xác suất đúng là \(\frac{1}{10^6}\). Nếu hệ thống cho phép thử tối đa 5 lần (mỗi lần đoán một mã khác nhau), xác suất đoán trúng là \(\frac{5}{10^6} = 0{,}000005\) – vẫn rất nhỏ. Đó là lí do ngân hàng khoá tài khoản sau vài lần nhập sai: giới hạn số lần thử giữ cho xác suất "đoán mò" nằm dưới ngưỡng xác suất bé.
Ngược lại, mã PIN 4 chữ số mà người dùng hay đặt kiểu "1111", "1234", năm sinh… thì các kết quả không còn đồng khả năng – kẻ gian thử những mã phổ biến trước sẽ có xác suất thành công cao hơn rất nhiều. Một ví dụ đời thường cho thấy giả thiết "đồng khả năng" quan trọng đến mức nào.
Ngược lại, mã PIN 4 chữ số mà người dùng hay đặt kiểu "1111", "1234", năm sinh… thì các kết quả không còn đồng khả năng – kẻ gian thử những mã phổ biến trước sẽ có xác suất thành công cao hơn rất nhiều. Một ví dụ đời thường cho thấy giả thiết "đồng khả năng" quan trọng đến mức nào.
Tình huống 3. Thi trắc nghiệm: "khoanh bừa" được bao nhiêu điểm?
Đoán mò cả bài (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Nam Định, năm học 2017 – 2018)
Một đề thi có 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án, chỉ một phương án đúng; mỗi câu đúng được 1 điểm. Một thí sinh chọn ngẫu nhiên đáp án cho cả 10 câu. Tính xác suất để thí sinh đạt từ 7 điểm trở lên.
Một đề thi có 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án, chỉ một phương án đúng; mỗi câu đúng được 1 điểm. Một thí sinh chọn ngẫu nhiên đáp án cho cả 10 câu. Tính xác suất để thí sinh đạt từ 7 điểm trở lên.
Lời giải:
Ta có: \(n(\Omega) = 4^{10}\).
Đoán đúng \(k\) câu: chọn \(k\) câu đúng (\(C_{10}^k\) cách), mỗi câu sai có 3 cách chọn: \(C_{10}^k \cdot 3^{10-k}\). Vậy:
Ta có: \(n(\Omega) = 4^{10}\).
Đoán đúng \(k\) câu: chọn \(k\) câu đúng (\(C_{10}^k\) cách), mỗi câu sai có 3 cách chọn: \(C_{10}^k \cdot 3^{10-k}\). Vậy:
\[n(A) = C_{10}^7 \cdot 3^3 + C_{10}^8 \cdot 3^2 + C_{10}^9 \cdot 3 + C_{10}^{10} = 3240 + 405 + 30 + 1 = 3676\]
\[P = \frac{3676}{4^{10}} = \frac{919}{262\,144} \approx 0{,}0035\]
(Lời giải lưu hành tính nhầm \(C_{10}^7 \cdot 27 = 1080\), dẫn đến đáp số sai \(\frac{1516}{4^{10}}\).)Khi đã biết loại trừ phương án (Đề thi thử TN THPT – Cụm trường Nghệ An, 2026)
Một bài kiểm tra có 20 câu trắc nghiệm, mỗi câu 4 phương án, chỉ một phương án đúng, mỗi câu đúng được 0,5 điểm. Bạn Tiến đã làm đúng 15 câu. Trong 5 câu còn lại, có hai câu bạn đã loại được một phương án sai; Tiến chọn ngẫu nhiên đáp án cho 5 câu còn lại (với hai câu kia, chọn ngẫu nhiên trong 3 phương án còn lại). Tính xác suất để Tiến được đúng 9 điểm.
Một bài kiểm tra có 20 câu trắc nghiệm, mỗi câu 4 phương án, chỉ một phương án đúng, mỗi câu đúng được 0,5 điểm. Bạn Tiến đã làm đúng 15 câu. Trong 5 câu còn lại, có hai câu bạn đã loại được một phương án sai; Tiến chọn ngẫu nhiên đáp án cho 5 câu còn lại (với hai câu kia, chọn ngẫu nhiên trong 3 phương án còn lại). Tính xác suất để Tiến được đúng 9 điểm.
Lời giải:
Ta có không gian mẫu: \(n(\Omega) = 3^2 \cdot 4^3 = 576\).
Để được 9 điểm, bạn Tiến cần đúng thêm 3 câu trong 5 câu còn lại. Gọi \(i\) là số câu đúng trong 2 câu "3 phương án", khi đó đúng \(3 - i\) câu trong 3 câu "4 phương án":
• Với \(i = 2\): \(1 \cdot C_3^1 \cdot 3^2 = 27\);
• Với \(i = 1\): \(C_2^1 \cdot 2 \cdot C_3^2 \cdot 3 = 36\);
• Với \(i = 0\): \(2^2 \cdot 1 = 4\).
Vậy xác suất là: \[P = \frac{67}{576} \approx 0{,}12.\]Loại được phương án sai làm xác suất tăng đáng kể so với đoán mò hoàn toàn.
Ta có không gian mẫu: \(n(\Omega) = 3^2 \cdot 4^3 = 576\).
Để được 9 điểm, bạn Tiến cần đúng thêm 3 câu trong 5 câu còn lại. Gọi \(i\) là số câu đúng trong 2 câu "3 phương án", khi đó đúng \(3 - i\) câu trong 3 câu "4 phương án":
• Với \(i = 2\): \(1 \cdot C_3^1 \cdot 3^2 = 27\);
• Với \(i = 1\): \(C_2^1 \cdot 2 \cdot C_3^2 \cdot 3 = 36\);
• Với \(i = 0\): \(2^2 \cdot 1 = 4\).
Vậy xác suất là: \[P = \frac{67}{576} \approx 0{,}12.\]Loại được phương án sai làm xác suất tăng đáng kể so với đoán mò hoàn toàn.
Điểm phần Đúng/Sai của đề tốt nghiệp mới
Trong đề tốt nghiệp THPT môn Toán từ năm 2025, phần Đúng/Sai gồm 4 câu, mỗi câu 4 ý. Mỗi câu: đúng 1 ý được 0,1 điểm, đúng 2 ý được 0,25 điểm, đúng 3 ý được 0,5 điểm, đúng 4 ý được 1 điểm. Một thí sinh chọn Đúng/Sai ngẫu nhiên cho cả 16 ý. Tính xác suất thí sinh được đúng 2 điểm ở phần này.
Trong đề tốt nghiệp THPT môn Toán từ năm 2025, phần Đúng/Sai gồm 4 câu, mỗi câu 4 ý. Mỗi câu: đúng 1 ý được 0,1 điểm, đúng 2 ý được 0,25 điểm, đúng 3 ý được 0,5 điểm, đúng 4 ý được 1 điểm. Một thí sinh chọn Đúng/Sai ngẫu nhiên cho cả 16 ý. Tính xác suất thí sinh được đúng 2 điểm ở phần này.
Lời giải:
Ta có: \(n(\Omega) = 2^{16} = 65\,536\). Mỗi câu có \(C_4^k\) cách để đúng \(k\) ý.
Các bộ điểm của 4 câu có tổng 2 điểm (không kể thứ tự):
• \(\{1; 1; 0; 0\}\): chọn 2 câu đạt 1 điểm (\(C_4^2 = 6\)), mỗi câu 1 cách, hai câu 0 điểm mỗi câu 1 cách: \(6\).
• \(\{1; 0{,}5; 0{,}5; 0\}\): \(4 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 4^2 \cdot 1 = 192\).
• \(\{1; 0{,}5; 0{,}25; 0{,}25\}\): \(4 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 6^2 = 1728\).
Ta có: \(n(\Omega) = 2^{16} = 65\,536\). Mỗi câu có \(C_4^k\) cách để đúng \(k\) ý.
Các bộ điểm của 4 câu có tổng 2 điểm (không kể thứ tự):
• \(\{1; 1; 0; 0\}\): chọn 2 câu đạt 1 điểm (\(C_4^2 = 6\)), mỗi câu 1 cách, hai câu 0 điểm mỗi câu 1 cách: \(6\).
• \(\{1; 0{,}5; 0{,}5; 0\}\): \(4 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 4^2 \cdot 1 = 192\).
• \(\{1; 0{,}5; 0{,}25; 0{,}25\}\): \(4 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 6^2 = 1728\).
