Tóm tắt nội dung: Tài liệu giới thiệu bài toán nguyên hàm chứa hàm mũ và lượng giác đặc trưng: \(I = \int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \c...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu giới thiệu bài toán nguyên hàm chứa hàm mũ và lượng giác đặc trưng: \(I = \int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \cdot e^x dx\). Dạng toán này có thể tiếp cận bằng nhiều phương pháp biến đổi đại số kết hợp với phương pháp nguyên hàm từng phần linh hoạt, giúp học sinh rèn luyện tư duy phân tích và biến đổi hàm số nâng cao trong chương trình Giải tích 12.
Đề bài
Bài toán: Tính nguyên hàm:
\[I = \int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \cdot e^x dx\]
Lời giải chi tiết
Cách 1: Tách biểu thức và dùng nguyên hàm từng phần
Ta phân tích tích phân ban đầu như sau:
\[I = \int \frac{1}{1 + \cos x} \cdot e^x dx + \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} \cdot e^x dx \quad (1)\]
Xét tích phân từng phần:
\[J = \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} \cdot e^x dx\]
Đặt:
\[\begin{cases} u = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \\ dv = e^x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = \dfrac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} dx = \dfrac{dx}{1 + \cos x} \\ v = e^x \end{cases}\]
Khi đó:
\[\Rightarrow J = \frac{\sin x}{1 + \cos x} \cdot e^x - \int \frac{e^x}{1 + \cos x} dx \quad (2)\]
Thay \((2)\) vào \((1)\), các số hạng triệt tiêu nhau, ta được:
\[I = \frac{\sin x}{1 + \cos x} \cdot e^x + C\]
Cách 2: Nhân lượng liên hợp và nguyên hàm từng phần
Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp \(1 - \cos x\):
\[I = \int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \cdot e^x dx = \int \frac{(1 + \sin x)(1 - \cos x)}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)} \cdot e^x dx\]
\[= \int \frac{1 - \cos x + \sin x - \sin x \cos x}{1 - \cos^2 x} \cdot e^x dx\]
\[= \int \frac{1 - \cos x}{1 - \cos^2 x} \cdot e^x dx + \int \frac{\sin x - \sin x \cos x}{1 - \cos^2 x} \cdot e^x dx\]
\[= \int \frac{1 - \cos x}{\sin^2 x} \cdot e^x dx + \int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \cdot e^x dx \quad (1)\]
Xét biểu thức thứ nhất:
\[J = \int \frac{1 - \cos x}{\sin^2 x} \cdot e^x dx = \int \frac{\sin^2 x - \cos x + \cos^2 x}{\sin^2 x} \cdot e^x dx\]
\[= \int \frac{(1 - \cos x)' \sin x - (\sin x)' (1 - \cos x)}{\sin^2 x} \cdot e^x dx\]
\[= \int \left(\frac{1 - \cos x}{\sin x}\right)' \cdot e^x dx = \int e^x d\left(\frac{1 - \cos x}{\sin x}\right)\]
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần \(\int u dv = uv - \int v du\):
\[= e^x \left(\frac{1 - \cos x}{\sin x}\right) - \int \left(\frac{1 - \cos x}{\sin x}\right) e^x dx \quad (2)\]
Thay \((2)\) vào \((1)\), ta thu được:
\[I = \frac{1 - \cos x}{\sin x} \cdot e^x + C\]
Cách 3: Phương pháp tách, phương pháp nguyên hàm từng phần (hướng mở rộng)
Tương tự như biến đổi bước đầu của cách 2:
\[I = \int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \cdot e^x dx = \int \frac{(1 + \sin x)(1 - \cos x)}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)} \cdot e^x dx\]
