Tóm tắt nội dung: Chuyên đề đếm tam giác và ứng dụng xác suất thuộc chương trình Toán THPT & ĐGNL. Tài liệu trình bày các phương pháp đ...
A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Từ bộ ba điểm đến tam giác
- Chọn ba điểm phân biệt rồi loại các bộ ba thẳng hàng. Với \(n\) điểm và chỉ một đường thẳng chứa \(k \ge 3\) điểm, số tam giác là \(C_n^3 - C_k^3\).
- Nếu các điểm chỉ nằm trên hai đường thẳng song song, chọn hai điểm trên một đường và một điểm trên đường kia.
- Trên lưới tọa độ, kiểm tra thẳng hàng bằng \((x_B - x_A)(y_C - y_A) = (y_B - y_A)(x_C - x_A)\). Khi đếm theo đường thẳng, mỗi bộ ba thẳng hàng chỉ thuộc một đường.
2. Đếm cạnh chung với đa giác lồi
Với đa giác lồi \(n \ge 4\) đỉnh, có \(C_n^3\) tam giác tạo từ các đỉnh.
- Hai cạnh chung: Chọn một đỉnh làm đỉnh giữa của ba đỉnh liên tiếp, được \(n\) cách.
- Một cạnh chung: Chọn cạnh rồi loại hai đầu mút và hai đỉnh kề bên ngoài cạnh. Có \(n(n - 4)\) cách.
- Không có cạnh chung: Lấy tổng số tam giác trừ hai loại trên.
3. Phân loại tam giác trong đa giác đều
- Vuông: Cạnh huyền là đường kính. Nếu \(n\) chẵn, có \(\frac{n}{2}(n - 2)\) cách. Nếu \(n\) lẻ, có 0 cách. Tam giác vuông cân chỉ có khi \(4 \mid n\), với đỉnh thứ ba cách mỗi đầu đường kính \(\frac{n}{4}\) bước trên vòng.
- Cân: Chọn đỉnh cân rồi chọn hai đỉnh đối xứng qua đường nối đỉnh cân với tâm. Có \(n \lfloor \frac{n - 1}{2} \rfloor\) lượt đếm. Mỗi tam giác đều bị đếm ba lần, nên trừ hai lần số tam giác đều để đếm tam giác cân.
- Đều: Nếu \(3 \mid n\), các đỉnh cách nhau \(\frac{n}{3}\) bước. Có \(\frac{n}{3}\) tam giác đều, đôi một không chung đỉnh. Nếu \(3 \nmid n\), có 0 cách.
- Nhọn và tù: Xét ba khoảng cách giữa các đỉnh liên tiếp theo vòng, có tổng \(n\). Nếu khoảng lớn nhất nhỏ hơn \(\frac{n}{2}\), tam giác nhọn và chứa tâm trong miền trong. Nếu lớn hơn \(\frac{n}{2}\), tam giác tù. Trường hợp bằng \(\frac{n}{2}\) cho tam giác vuông.
4. Phân nhóm đỉnh và lập xác suất
- Nhóm tam giác đều: Đếm số vị trí cần chọn trong từng nhóm, sau đó nhân số cách gán vật phân biệt nếu đề yêu cầu.
- Nhóm theo số dư: Khi tổng chỉ số phải chia hết cho \(m\), liệt kê các kiểu số dư có tổng chia hết cho \(m\). Dùng tổ hợp trong từng lớp dư.
- Xác suất: Khi các bộ chọn đồng khả năng, lấy số bộ thuận lợi chia cho số bộ có thể chọn. Nếu chọn ba đỉnh thì mẫu số là \(C_n^3\).
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 (TME): Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng song song \(d_1\) và \(d_2\). Trên đường thẳng \(d_1\) lấy 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng \(d_2\) lấy 8 điểm phân biệt. Gọi \(N\) là số tam giác mà 3 đỉnh của nó được chọn từ 18 điểm nói trên. Tính \(T = N + 1500\).
Ví dụ 2 (TME): Trong mặt phẳng cho 15 điểm phân biệt, trong đó có đúng 6 điểm cùng nằm trên đường thẳng \(d\), ngoài ra không có 3 điểm nào khác thẳng hàng. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 điểm từ 15 điểm đã cho. Gọi \(P\) là xác suất để 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác. Tính \(T = 1820 \times P\).
Ví dụ 3 (TME): Cho một đa giác lồi 20 đỉnh. Xét tập hợp tất cả các tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác lồi đã cho. Gọi \(N\) là số tam giác mà cả ba cạnh của nó đều không phải là cạnh của đa giác lồi. Tính \(T = N + 1200\).
