Bài viết hệ thống toàn bộ lý thuyết trọng tâm về bài toán đếm tứ giác (tứ giác lồi/lõm, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân trên lưới...
Bài viết hệ thống toàn bộ lý thuyết trọng tâm về bài toán đếm tứ giác (tứ giác lồi/lõm, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân trên lưới ô vuông hoặc đa giác đều) cùng phương pháp đếm số cạnh chung và ứng dụng tính xác suất trong kỳ thi THPT Quốc gia & Đánh giá năng lực.
A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Chọn bốn điểm để tạo thành tứ giác
- Tứ giác đơn: Bốn điểm phân biệt có thể làm đỉnh của một tứ giác đơn nếu không có ba điểm nào thẳng hàng. Nếu một điểm nằm trong tam giác tạo bởi ba điểm còn lại, tứ giác đơn tạo được là tứ giác lõm.
- Tứ giác lồi: Cả bốn điểm phải là đỉnh của bao lồi. Nếu chọn bốn đỉnh của một đa giác lồi, có \(C_n^4\) cách.
- Có một nhóm thẳng hàng: Nếu chỉ đường thẳng \(d\) chứa từ ba điểm trở lên, với \(k\) điểm trên \(d\) trong tổng số \(n\) điểm, số bộ bốn điểm tạo được tứ giác đơn là:
\[C_n^4 - C_k^4 - C_k^3(n - k)\]
Hai số hạng trừ lần lượt ứng với bốn điểm và đúng ba điểm trên \(d\). - Hai đường thẳng song song: Chọn đúng hai điểm từ mỗi đường. Với \(m\) và \(n\) điểm, có \(C_m^2 C_n^2\) tứ giác lồi.
2. Đếm hình trên lưới ô vuông
- Hình chữ nhật: Trên lưới \(m \times n\) ô, chọn hai trong \(m + 1\) đường kẻ theo một hướng và hai trong \(n + 1\) đường theo hướng còn lại. Số hình là \(C_{m+1}^2 C_{n+1}^2\).
- Hình vuông: Với cạnh dài \(k\) ô, có \((m - k + 1)(n - k + 1)\) vị trí. Cộng theo \(k\) từ 1 đến \(\min(m, n)\). Nếu đề yêu cầu hình chữ nhật không vuông, lấy hiệu hai kết quả.
- Các công thức trên đếm hình có cạnh nằm trên đường lưới. Nếu đề chỉ yêu cầu các đỉnh là điểm lưới, cần xét thêm hình nghiêng.
3. Đếm số cạnh chung với đa giác lồi
- Trên vòng \(n \ge 5\) đỉnh, gom bốn đỉnh được chọn thành \(r\) nhóm liên tiếp. Số cạnh chung là \(4 - r\).
- Chọn đỉnh đầu của một nhóm, rồi phân 4 đỉnh được chọn và \(n - 4\) đỉnh không được chọn thành \(r\) nhóm khác rỗng xen kẽ. Mỗi bộ đỉnh bị đếm \(r\) lần, nên số bộ là:
\[\frac{n}{r} C_3^{r-1} C_{n-5}^{r-1}, \quad 1 \le r \le \min(4, n - 4)\]
Nếu \(r > n - 4\), không đủ đỉnh để tách các nhóm.
4. Nhận dạng hình trong đa giác đều
- Hình chữ nhật: Hai đường chéo là hai đường kính. Có \(C_{n/2}^2\) hình nếu \(n\) chẵn và không có hình nào nếu \(n\) lẻ.
- Hình vuông: Hai đường kính phải vuông góc. Nếu \(4 \mid n\), có \(n/4\) hình. Mỗi hình gồm bốn đỉnh cách nhau \(n/4\) bước trên vòng. Nếu \(4 \nmid n\), không có hình vuông.
- Hình thang cân: Với bốn chỉ số \(a < b < c < d\) quanh vòng, hai cạnh \(A_a A_b\) và \(A_c A_d\) song song khi \(a + b \equiv c + d \pmod n\). Cặp cạnh còn lại song song khi \(a + d \equiv b + c \pmod n\). Một hình chữ nhật thỏa cả hai điều kiện, nên cần xử lý phần giao khi đếm.
5. Đếm theo lớp dư và lập xác suất
- Tổng chỉ số: Chia các đỉnh theo số dư, liệt kê các kiểu số lượng có tổng dư bằng 0, rồi nhân các số tổ hợp trong từng kiểu.
- Phân bố trên các hình vuông: Chia các đỉnh thành các nhóm bốn đỉnh của từng hình vuông. Với mỗi kiểu phân bố, chọn vị trí trong từng nhóm. Nếu các vật phân biệt, nhân thêm số cách gán vật vào các vị trí đã chọn.
- Xác suất: Khi mọi bộ \(k\) đỉnh đều đồng khả năng, mẫu số là \(C_n^k\). Tử số đếm các bộ đỉnh thỏa điều kiện.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng song song \(d_1\) và \(d_2\). Trên đường thẳng \(d_1\) lấy 12 điểm phân biệt, trên đường thẳng \(d_2\) lấy 10 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tứ giác lồi (hình thang) mà cả 4 đỉnh đều được chọn từ 22 điểm nói trên?
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng song song \(d_1\) và \(d_2\). Trên đường thẳng \(d_1\) có 8 điểm phân biệt, trên đường thẳng \(d_2\) có 6 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 điểm từ 14 điểm đã cho. Gọi \(P\) là xác suất để 4 điểm được chọn tạo thành một tứ giác lồi. Tính \(T = 7150 \times P\).
Ví dụ 3. Cho một đa giác đều gồm 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Gọi \(N\) là số hình chữ nhật mà cả 4 đỉnh đều là các đỉnh của đa giác đều đã cho. Tính \(T = 50N + 1250\).
