Tóm tắt nội dung: Tài liệu hệ thống hóa toàn bộ lý thuyết và phương pháp giải cho ba dạng hoán vị nâng cao thường gặp trong kỳ thi THPT Qu...
A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Chọn phương pháp: Nếu đổi chỗ hai phần tử cùng loại mà cách xếp vẫn như cũ, dùng hoán vị lặp. Nếu các cách xếp trùng nhau qua phép quay, cố định một phần tử làm mốc. Nếu đề so sánh vị trí mới với vị trí ban đầu, đếm theo số vị trí giữ nguyên.
1. Hoán vị lặp
Xếp \(n\) phần tử thành một hàng, trong đó có \(k\) loại với số lượng lần lượt là \(n_1, \dots, n_k\) và các phần tử cùng loại giống hệt nhau. Nếu \(n_1 + \dots + n_k = n\), số cách xếp phân biệt là:
\[\frac{n!}{n_1! \dots n_k!}\]
Dạng 1. Xếp theo khối: Nếu các phần tử cùng loại phải đứng liền nhau, gộp chúng thành một khối rồi đếm cách xếp các khối và các phần tử còn lại.
Dạng 2. Xếp vào khe: Xếp các phần tử không thuộc loại đang xét trước. Nếu cần tạo đúng hai khối từ \(r \ge 2\) phần tử giống nhau, chọn hai khe khác nhau rồi chia \(r\) thành hai số nguyên dương theo thứ tự từ trái sang phải. Nếu mọi phần tử cùng loại phải tách rời, đặt nhiều nhất một phần tử vào mỗi khe. Sau khi xếp \(m\) phần tử còn lại, có \(m + 1\) khe, kể cả hai đầu.
Dạng 3. Lập số: Chữ số đầu tiên phải khác 0. Có thể chọn chữ số đầu trước hoặc trừ các cách xếp bắt đầu bằng 0.
Dạng 4. Đường đi trên lưới và thứ tự theo cột:
- Đường đi gồm \(a\) bước sang phải và \(b\) bước lên trên tương ứng với một cách xếp hai loại bước. Số đường đi là \(C_{a+b}^a\). Nếu bắt buộc qua một điểm, nhân số cách đi trên hai đoạn. Nếu phải tránh điểm đó, lấy tổng số đường đi trừ số đường qua điểm.
- Khi mỗi cột có một thứ tự xử lý cố định, một lịch xử lý được xác định bởi dãy các cột được chọn. Nếu cột \(i\) có \(n_i\) mục tiêu, áp dụng công thức hoán vị lặp cho dãy này.
2. Hoán vị vòng quanh
Nhận dạng: Xếp \(n \ge 2\) phần tử phân biệt quanh một vòng tròn, hai cách xếp trùng nhau nếu có thể quay cách này thành cách kia. Cố định một phần tử làm mốc rồi xếp \(n - 1\) phần tử còn lại theo chiều kim đồng hồ. Số cách là \((n - 1)!\).
- Ghế phân biệt: Nếu các ghế được đánh số hoặc có một ghế sát cửa làm mốc, có \(n!\) cách xếp tự do.
- Hai người kề nhau hoặc đối diện: Cố định người thứ nhất. Người thứ hai có hai ghế kề để chọn khi \(n \ge 3\), hoặc một ghế đối diện khi \(n\) chẵn. Sau đó xếp những người còn lại.
- Vòng được lật: Với \(n \ge 3\) hạt phân biệt, mỗi cách xếp theo phép quay ghép với đúng một cách đảo chiều. Nếu đề coi hai cách đó như nhau, số vòng là \(\frac{(n - 1)!}{2}\).
3. Hoán vị sai chỗ
Gọi \(D_n\) là số hoán vị của \(n\) phần tử mà không phần tử nào ở đúng vị trí ban đầu. Để đếm, bắt đầu với mọi hoán vị. Trừ các hoán vị giữ nguyên một vị trí, cộng lại các hoán vị giữ nguyên hai vị trí đã bị trừ hai lần, rồi tiếp tục xen kẽ dấu. Với \(n \ge 1\), ta được:
\[D_n = n! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!}\right)\]
Dạng 1. Sai chỗ toàn phần: Áp dụng công thức trên hoặc tính lần lượt bằng \(D_0 = 1\), \(D_1 = 0\) và \(D_n = (n - 1)(D_{n-1} + D_{n-2})\) với \(n \ge 2\).
Dạng 2. Đúng \(r\) vị trí cố định: Chọn \(r\) vị trí giữ nguyên rồi hoán vị sai chỗ các phần tử còn lại. Số cách là \(C_n^r D_{n-r}\).
Dạng 3. Xác suất: Khi mọi hoán vị đồng khả năng, chia số hoán vị thuận lợi cho \(n!\). Chẳng hạn xác suất có ít nhất một vị trí cố định là \(1 - \frac{D_n}{n!}\).
Dạng 4. Bàn cờ và ghép cặp: Khi mỗi hàng có đúng một quân xe và mỗi cột có đúng một quân xe, vị trí các quân xe tương ứng với một hoán vị các cột. Quân xe trên đường chéo chính tương ứng với một vị trí cố định. Tương tự, trong bài ghép cặp, đánh số hai nhóm sao cho các cặp ban đầu có cùng số thứ tự.
Kiểm tra trước khi tính: Xác định đối tượng nào giống nhau, ghế có phân biệt hay không và vị trí nào bị cấm. Ba dữ kiện này quyết định dùng hoán vị lặp, vòng quanh hay sai chỗ.
