Tóm tắt trọng tâm: Chuyên đề cung cấp quy trình khảo sát hàm số chuẩn mực theo chương trình mới Toán 12. Nội dung tập trung vào mối liên h...
Tóm tắt trọng tâm: Chuyên đề cung cấp quy trình khảo sát hàm số chuẩn mực theo chương trình mới Toán 12. Nội dung tập trung vào mối liên hệ giữa dấu đạo hàm cấp một với tính đơn điệu và điểm cực trị, cách lập bảng biến thiên, phương pháp tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất và các dạng đường tiệm cận (ngang, đứng, xiên) của đồ thị hàm số.
I. Kiến thức và Quy tắc Trọng tâm
1. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \(K\):
- Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số đồng biến trên \(K\).
- Nếu \(f'(x) < 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số nghịch biến trên \(K\).
- Nếu \(f'(x) = 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số không đổi trên \(K\).
Các bước thực hiện:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm \(x_i\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3: Sắp xếp các điểm \(x_i\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
Giả sử hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \((a; b)\) chứa điểm \(x_0\) và có đạo hàm trên các khoảng \((a; x_0)\), \((x_0; b)\):
- Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm khi \(x\) đi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là một điểm cực đại của hàm số.
- Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương khi \(x\) đi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là một điểm cực tiểu của hàm số.
3. Định nghĩa đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
- Đường thẳng \(y = y_0\) là tiệm cận ngang nếu \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0\) hoặc \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0\).
- Đường thẳng \(x = x_0\) là tiệm cận đứng nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty\) hoặc \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty\).
- Đường thẳng \(y = ax + b\; (a \ne 0)\) là tiệm cận xiên nếu \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0\) hoặc \(\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0\).
II. Phiếu Câu Hỏi Trắc Nghiệm Củng Cố
Câu 1: Phát biểu nào sau đây về cực trị của hàm số là sai?
A. Nếu hàm số \(y = f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) thì \(f(x_0)\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
B. Nếu hàm số \(y = f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) thì \(x_0\) được gọi là điểm cực đại của hàm số.
C. Giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số được gọi chung là cực trị của hàm số.
D. Nếu hàm số \(y = f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_0\) thì điểm \(M(x_0; f(x_0))\) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.
Câu 2: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(3\) | \(+\infty\) | |
| \(f'(x)\) | + | 0 | - | 0 | + |
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.
B. Hàm số đạt cực đại tại \(x = 3\).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 3)\).
D. Hàm số không có cực tiểu.
Câu 3: Cho hàm số \(y = f(x)\) có \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\) và \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng \(y = 1\) và \(y = -1\).
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng \(x = 1\) và \(x = -1\).
Câu 4: Cho hàm số \(y = \frac{2x - 1}{x + 2}\). Phương trình các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là:
A. \(x = 2\) và \(y = -2\)
B. \(x = -2\) và \(y = 2\)
C. \(x = -2\) và \(y = -1\)
D. \(x = 2\) và \(y = 1\)
III. Bảng Đáp Án và Lời Giải Chi Tiết
Đáp án nhanh: 1-D | 2-A | 3-C | 4-B
Lời giải chi tiết:
Câu 1: Chọn D vì điểm \(M(x_0; f(x_0))\) nằm trên mặt phẳng toạ độ được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số, không phải của hàm số.
Câu 2: Chọn A vì đạo hàm \(f'(x)\) đổi dấu hai lần: từ \((+)\) sang \((-)\) qua \(x = -1\) (điểm cực đại) và từ \((-)\) sang \((+)\) qua \(x = 3\) (điểm cực tiểu). Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.
Câu 3: Chọn C theo đúng định nghĩa tiệm cận ngang: giới hạn khi \(x \to +\infty\) ra 1 nên có tiệm cận \(y = 1\); giới hạn khi \(x \to -\infty\) ra -1 nên có tiệm cận \(y = -1\).
Câu 4: Chọn B vì:
\[\lim_{x \to -2^+} \frac{2x - 1}{x + 2} = -\infty \implies x = -2 \text{ là tiệm cận đứng.}\]
\[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 1}{x + 2} = 2 \implies y = 2 \text{ là tiệm cận ngang.}\]
