Tài liệu hệ thống hóa toàn bộ kiến thức lý thuyết và phương pháp giải về kĩ năng gộp biến cố trong chuyên đề Tổ hợp - Xác suất, bao gồm kĩ ...
A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Gộp khối và gộp theo thuộc tính
- Gộp khối: Nếu nội dung yêu cầu kỹ thuật xếp nhóm: Nếu tác vụ có chứa k trong n đối tượng phân biệt phải đứng liền nhau, ta xem nhóm đó là một khối thống nhất. Xếp \(n - k + 1\) đơn vị rồi xếp bên trong khối, thu được \((n - k + 1)! k!\) cách. Trên bàn tròn, với \(m\) đơn vị phân biệt, có \((m - 1)!\) cách nếu các phép quay được xem là một. Nếu ghế có đánh số và có ít nhất hai đơn vị, nhân thêm số ghế.
- Gộp theo số dư: Chia tập số thành các lớp dư. Chẳng hạn, ba số có tổng chia hết cho 3 khi ba số dư giống nhau hoặc lần lượt là 0, 1, 2. Tính số cách trong mỗi kiểu rồi cộng.
- Ghép cặp đối xứng: Nếu tập có một phần tử lẻ cố định, thao tác thêm hoặc bỏ phần tử ấy ghép mỗi tập con có tổng chẵn với đúng một tập con có tổng lẻ.
2. Gộp lượt thành vòng đấu
- Nhận diện vòng lặp: Chọn một nhóm lượt sao cho khi chưa phân thắng thua, trò chơi trở lại đúng trạng thái ban đầu với cùng luật xác suất. Gọi \(u, v\) là xác suất hai bên thắng trong một vòng. Khi \(u + v > 0\), xác suất bên thứ nhất thắng chung cuộc là \(\frac{u}{u + v}\).
- Hai người luân phiên: Nếu \(A\) đi trước, các lượt độc lập và xác suất thành công mỗi lượt lần lượt là \(p_A, p_B\), thì \(u = p_A\) và \(v = (1 - p_A)p_B\). Với ba người, xác suất người thứ ba thắng trong vòng là \((1 - p_A)(1 - p_B)p_C\).
- Thắng cách biệt hai điểm: Từ thế hòa, gộp hai ván độc lập thành một vòng. Hai ván cùng thắng hoặc cùng thua cho kết quả chung cuộc. Một thắng, một thua đưa trận đấu về thế hòa.
- Rút không hoàn lại: Thành phần hộp thay đổi sau mỗi lượt, nên cần cập nhật số vật còn lại. Nếu ai rút bi đỏ đầu tiên thì thắng, có thể gộp theo vị trí xuất hiện của viên đỏ đầu tiên.
3. Gộp các trường hợp trong xác suất có điều kiện
- Nếu các biến cố \(H_i\) xung khắc đôi một và cùng có \(P(A \mid H_i) = p\), thì với \(H = \bigcup_i H_i\) có xác suất dương, ta có \(P(A \mid H) = p\). Khi tính xác suất toàn phần, nhóm này đóng góp \(p P(H)\).
- Truy nguyên nguồn gốc: Xác suất cần tìm là \(P(H \mid A) = \frac{P(H)P(A \mid H)}{P(A)}\. Tính mẫu số theo các nguồn có thể tạo ra kết quả quan sát.
- Đổi cửa: Trong trò chơi \(n\) cửa, cửa ban đầu có xác suất trúng \(\frac{1}{n}\). Nếu người dẫn luôn mở \(k\) cửa không có thưởng và người chơi đổi đều sang một trong \(n - 1 - k\) cửa còn lại, xác suất thắng khi đổi là \(\frac{n - 1}{n(n - 1 - k)}\).
- Gộp theo trạng thái: Khi bit đi qua nhiều trạm, chỉ cần xét số lần bị đảo là chẵn hay lẻ. Khi rút đến viên đen thứ \(r\) ở lượt \(k\), gộp theo hai điều kiện: có đúng \(r - 1\) viên đen trong \(k - 1\) lượt đầu và lượt \(k\) rút được viên đen.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Nhận dạng
Ví dụ 1. TME: Có 3 học sinh chuyên Toán, 3 học sinh chuyên Lý và 3 học sinh chuyên Hóa cùng tham gia một buổi chụp ảnh kỷ yếu. Người thợ ảnh yêu cầu xếp 9 học sinh này thành một hàng ngang sao cho các bạn học sinh cùng một lớp chuyên luôn đứng liền kề nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu của người thợ ảnh?
Ví dụ 2. TME: Hai bạn An và Bình cùng chơi một trò chơi gieo xúc xắc luân phiên bằng một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Mỗi lượt một người gieo 1 lần. Ai gieo được mặt 6 chấm trước sẽ là người chiến thắng và cuộc chơi kết thúc ngay lập tức. An là người được quyền gieo trước. Tính xác suất để An là người chiến thắng cuộc chơi. Các lượt thử độc lập. Biết xác suất này có dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) với \(a, b\) nguyên dương. Tính \(200a + b\).
Ví dụ 3. TME: Cho tập hợp các số tự nhiên \(S = \{1, 2, 3, \dots, 30\}\). Có tất cả bao nhiêu cách chọn ra một bộ gồm 3 số phân biệt từ tập \(S\) sao cho tổng của 3 số được chọn là một số chia hết cho 3?
Vận dụng
Ví dụ 4. TME: Hai xạ thủ chuyên nghiệp \(X\) và \(Y\) thi đấu bắn súng đối kháng. Mỗi lượt thi đấu, một xạ thủ bắn 1 phát đạn. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ \(X\) là \(0,7\); xác suất bắn trúng bia của xạ thủ \(Y\) là \(0,6\). Hai người luân phiên bắn súng, xạ thủ \(X\) được quyền bắn trước. Ai bắn trúng bia trước là người giành chiến thắng chung cuộc. Các lượt thử độc lập. Biết xác suất để xạ thủ \(X\) thắng cuộc có dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) với \(a, b\) nguyên dương. Tính \(100a + b\).
