Tóm tắt nội dung: Chuyên đề hướng dẫn phương pháp giải các bài toán tổ hợp định vị hình học nâng cao: xử lý các cấu hình ô giao (hình chữ ...
A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Các cấu hình có ô giao
- Nếu các đường qua tâm đều phải chứa cùng một số và mỗi số chỉ được dùng một lần, số đó nằm ở ô tâm. Trừ giá trị ô tâm khỏi tổng trên từng đường để đưa bài toán về ghép các cặp có cùng tổng.
- Với một tổng cố định, mỗi số chỉ ghép được với một số khác, nên các cặp phân biệt tự động rời nhau. Nếu có \(m\) cặp và \(k\) đường qua tâm, số cách là \(C_m^k k! 2^k\). Cộng theo các tổng có thể.
- Chữ V, chữ T và hình thoi: Sau khi bỏ ô chung, mỗi đường còn một cặp. Hai cặp phải có cùng tổng, nên mỗi bộ hai cặp cho \(2! \cdot 2^2 = 8\) cách xếp.
- Chữ H: Gọi \(u, v\) là hai ô giữa cột và \(w\) là ô giữa thanh ngang. Chọn trước ba số này. Tổng chung là \(S = u + v + w\). Hai cặp đầu mút của cột trái và cột phải phải có tổng lần lượt là \(S - u\) và \(S - v\). Chọn các cặp rời nhau từ những số còn lại rồi đổi chỗ hai đầu mỗi cột.
2. Lập phương, tứ diện và đa giác đều
- Lập phương: Chia tám đỉnh thành hai nhóm bốn đỉnh sao cho mỗi cạnh nối hai nhóm khác nhau. Điều kiện tổng trên mỗi cạnh là số lẻ buộc một nhóm nhận bốn số chẵn và nhóm kia nhận bốn số lẻ. Với một bộ số đã chọn, có \(2(4!)^2\) cách xếp vào các đỉnh cố định.
- Tứ diện: Hai mặt có chung một cạnh. Lấy hiệu hai tổng mặt để suy ra hai đỉnh còn lại cùng số dư modulo 3. Làm tương tự cho các cặp mặt, ta được cả bốn đỉnh cùng số dư. Ngược lại, ba số cùng dư \(r\) có tổng đồng dư với \(3r \equiv 0 \pmod 3\). Nếu lớp dư \(r\) có \(n_r\) số, số cách điền là \(4! \sum_{r=0}^2 C_{n_r}^4\).
- Lục giác và bát giác đều: Gom các cặp có cùng tổng rồi gán vào các cặp đỉnh đối diện. Mỗi bộ ba cặp cho \(3! \cdot 2^3\) cách xếp trên lục giác. Mỗi bộ bốn cặp cho \(4! \cdot 2^4\) cách trên bát giác.
3. Cấp số cộng trên các cạnh tam giác
- Gọi \(a, b, c\) là ba số ở các đỉnh \(A, B, C\). Các số tại trung điểm \(M, N, P\) lần lượt là \(\frac{b+c}{2}, \frac{c+a}{2}, \frac{a+b}{2}\).
- Chọn ba số đỉnh cùng tính chẵn lẻ để các trung điểm nhận số nguyên. Kiểm tra cả sáu số thuộc tập cho trước và đôi một khác nhau. Với ba số đỉnh phân biệt, các trung điểm tự phân biệt. Một trung điểm trùng với đỉnh còn lại đúng khi ba số đỉnh lập thành cấp số cộng.
- Mỗi bộ ba số đỉnh hợp lệ có \(3!\) cách gán vào các đỉnh. Sau khi gán, ba số trung điểm được xác định duy nhất.
4. Tam giác ma thuật
- Gọi \(S\) là tổng chung trên mỗi cạnh. Cộng ba tổng cạnh, mỗi đỉnh được tính hai lần và mỗi trung điểm được tính một lần. Do đó, \(3S\) bằng tổng sáu số cộng thêm tổng ba số đỉnh.
- Chọn ba số ở đỉnh và thử các giá trị \(S\) có thể. Các số tại \(M, N, P\) lần lượt bằng \(S - b - c, S - c - a, S - a - b\). Chỉ giữ những cấu hình có đủ sáu số hợp lệ và phân biệt.
5. Ma phương cấp ba dùng chín số lập cấp số cộng
- Mỗi cấp số cộng gồm chín số phân biệt cho tám cách xếp ma phương. Chúng thu được bằng phép quay và đối xứng từ ma phương chuẩn dưới đây, sau khi thay mỗi số \(i\) bằng số hạng thứ \(i\) trong cấp số cộng:
8 1 6
3 5 7
4 9 2 - Với tập \(\{1, 2, \dots, n\}\), cố định công sai dương \(d\). Số đầu có \(n - 8d\) cách chọn. Cộng theo \(1 \le d \le \lfloor \frac{n-1}{8} \rfloor\) rồi nhân 8.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho tập hợp \(X = \{1, 2, \dots, 15\}\) và 5 ô hình tròn được bố trí theo hình chữ V gồm một ô ở đỉnh góc và mỗi nhánh gồm hai ô thẳng hàng. Người ta chọn ra 5 số phân biệt từ tập \(X\) để điền vào 5 ô hình tròn sao cho ô ở đỉnh góc nhận số 8 và tổng ba số trên mỗi nhánh của chữ V đều bằng nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách điền số thỏa mãn?
Ví dụ 2. Cho tập hợp \(X = \{1, 2, \dots, 15\}\) và 5 ô hình tròn được bố trí theo hình chữ T (gồm một hàng ngang có 3 ô và một hàng dọc có 3 ô giao nhau tại ô giữa của hàng ngang và ô đỉnh của hàng dọc). Người ta chọn ra 5 số phân biệt từ tập \(X\) để điền vào 5 ô sao cho ô giao nhau nhận số 1 và tổng ba số trên hàng ngang bằng tổng ba số trên hàng dọc. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách điền số thỏa mãn?
Ví dụ 3. Cho tập hợp \(X = \{1, 2, \dots, 18\}\) và một khối tứ diện đều có 4 đỉnh phân biệt \(A, B, C, D\). Người ta chọn ra 4 số phân biệt từ tập \(X\) để điền vào 4 đỉnh của khối tứ diện sao cho mỗi đỉnh nhận đúng một số. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách điền sao cho tổng ba số ghi trên ba đỉnh của mỗi mặt tam giác của tứ diện đều là một số chia hết cho 3?
