Tóm tắt nội dung: Chuyên đề tổng hợp kiến thức và phương pháp giải các bài toán chuyên sâu về Tổ hợp – Xác suất: kỹ thuật đếm hình chữ nhậ...
Tóm tắt nội dung: Chuyên đề tổng hợp kiến thức và phương pháp giải các bài toán chuyên sâu về Tổ hợp – Xác suất: kỹ thuật đếm hình chữ nhật, hình vuông trên lưới ô vuông; bài toán tìm đường đi ngắn nhất và số Catalan; góc nội tiếp đa giác đều; đếm điểm nguyên trong miền phẳng; mô hình bước đi ngẫu nhiên và kim Buffon. Đi kèm là các ví dụ minh họa dạng bài tập tính toán có đáp số.
A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Đếm hình trên lưới ô vuông
- Hình chữ nhật có cạnh theo lưới: Trên lưới \(m \times n\) ô, chọn hai trong \(m + 1\) đường ngang và hai trong \(n + 1\) đường dọc. Số hình chữ nhật tạo thành là \(C_{m+1}^2 C_{n+1}^2\).
- Hình vuông: Với hình vuông bao quanh có cạnh \(k\) ô, có \((m - k + 1)(n - k + 1)\) vị trí đặt. Mỗi vị trí cho một hình vuông thẳng và \(k - 1\) hình vuông nghiêng. Vì vậy, trên lưới \(n \times n\) ô, số hình vuông thẳng là \(\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\), còn tổng số hình vuông là \(\frac{n(n + 1)^2(n + 2)}{12}\).
- Đoạn thẳng và hình thang: Với đoạn nằm trên đường lưới, chọn hai nút cùng hàng hoặc cùng cột. Với hình thang có đáy ngang, chọn hai hàng, sau đó chọn hai đoạn đáy thỏa mãn điều kiện về trung điểm hoặc cạnh bên.
2. Đường đi ngắn nhất và đường cấm
- Từ \((0, 0)\) đến \((m, n)\), mỗi đường đi gồm \(m\) bước sang phải và \(n\) bước lên. Có \(C_{m+n}^m\) cách đi. Muốn đi qua một nút, nhân số cách trên hai chặng. Muốn tránh nút đó, lấy tổng số đường đi trừ đi số đường đi qua nút cấm.
- Phản xạ: Để đếm số đường từ \((0, 0)\) đến \((n, n)\) không vượt quá đường thẳng \(y = x\), đổi vai trò bước sang phải và bước lên ở đoạn đầu cho đến lần đầu tiên chạm đường \(y = x + 1\). Trừ đi số đường vi phạm, thu được số Catalan \(C_n = \frac{1}{n + 1}C_{2n}^n\).
- Với nhiều điểm cấm hoặc biên phức tạp, điền số cách tới từng nút bằng tổng số cách tới nút bên trái và nút bên dưới. Gán \(0\) cho các nút cấm.
3. Góc nội tiếp trong đa giác đều
- Góc chắn cung gồm \(k\) cạnh của đa giác đều \(n\) đỉnh có số đo là \(\frac{180^\circ k}{n}\). Luôn dùng cung không chứa đỉnh của góc.
- Với tam giác: Gọi \(a, b, c\) là số cạnh trên ba cung liên tiếp. Khi đó \(a + b + c = n\) và ba góc tỉ lệ với \(a, b, c\). Đếm theo cung và kiểm tra số lần mỗi tam giác được tính. Ví dụ, tam giác đều có ba góc \(60^\circ\) nên xuất hiện \(3\) lần nếu đánh dấu từng góc.
- Với tứ giác: Có bốn khoảng cung liên tiếp \(a, b, c, d\), bốn góc theo thứ tự tương ứng tỉ lệ với \(b + c, c + d, d + a, a + b\). Hai góc đối diện luôn bù nhau.
4. Đếm điểm nguyên trong miền
- Cố định tung độ nguyên \(y\), rồi tìm cận nguyên của hoành độ \(x\) trên hàng đó. Cộng số điểm của từng hàng. Đọc kỹ dấu \(<\) và \(\le\) để xử lý điểm trên biên.
- Nếu chọn đều trên một tập hữu hạn, xác suất bằng số điểm thuận lợi chia cho tổng số điểm của toàn miền.
5. Bước đi ngẫu nhiên và kim Buffon
- Bước đi ngẫu nhiên: Theo dõi vị trí sau mỗi lượt. Cộng xác suất từ các vị trí có thể di chuyển đến điểm đang xét. Với biên hấp thụ, loại các nhánh đã ra khỏi miền ngay ở lượt đó.
- Kim trên lưới vuông: Với ô cạnh \(a\) và kim dài \(\ell \le a\), đặt tâm đều trong một ô và hướng đều, độc lập với tâm. Điều kiện theo hướng \(\theta\) cho hai xác suất cắt đường dọc và ngang lần lượt là \(\frac{\ell|\cos \theta|}{a}\) và \(\frac{\ell|\sin \theta|}{a}\). Lấy hợp hai biến cố rồi lấy trung bình theo góc, ta được xác suất:
\[P = \frac{4\ell}{\pi a} - \frac{\ell^2}{\pi a^2}\]
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Một tấm bảng lưới ô vuông kích thước \(5 \times 6\) gồm \(30\) ô vuông nhỏ đơn vị, được tạo thành bởi \(6\) đường thẳng nằm ngang song song cách đều nhau và \(7\) đường thẳng đứng song song cách đều nhau. Gọi \(N\) là số hình chữ nhật được tạo thành từ các đoạn thẳng của lưới ô vuông nói trên. Tính \(T = 10N + 1200\).
Ví dụ 2. Cho một lưới ô vuông kích thước \(4 \times 4\) gồm \(16\) ô vuông nhỏ đơn vị, được tạo bởi \(5\) đường kẻ ngang và \(5\) đường kẻ dọc. Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật có các cạnh nằm trên đường lưới. Gọi \(P\) là xác suất để hình chữ nhật được chọn là một hình vuông (có các cạnh song song với đường lưới). Tính \(T = 7000 \times P + 1000\).
Ví dụ 3. Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), một chất điểm di chuyển từ gốc tọa độ \(O(0, 0)\) đến điểm \(M(6, 5)\) dọc theo các cạnh của các ô vuông đơn vị. Tại mỗi bước, chất điểm chỉ có thể di chuyển sang phải \(1\) đơn vị (từ \((x, y)\) sang \((x+1, y)\)) hoặc di chuyển lên trên \(1\) đơn vị (từ \((x, y)\) sang \((x, y+1)\)). Gọi \(N\) là số đường đi ngắn nhất khác nhau từ \(O\) đến \(M\). Tính \(T = 10N + 1500\).
