Tóm tắt nội dung: Tài liệu cung cấp cơ sở lý thuyết và các kỹ thuật trọng tâm giải bài toán tổ hợp - xác suất liên quan đến mô hình lấy vậ...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu cung cấp cơ sở lý thuyết và các kỹ thuật trọng tâm giải bài toán tổ hợp - xác suất liên quan đến mô hình lấy vật, chia nhóm số dư, chuyển vật một chiều giữa các hộp, bài toán hoàn lại và trao đổi đồng thời. Kèm theo đó là các ví dụ nhận dạng và vận dụng thực tế thường gặp trong các đề thi tuyển sinh THPT và Đánh giá năng lực.
A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Chọn vật theo màu hoặc theo số
- Theo màu: Nếu chọn \(k\) viên từ hộp có \(a\) bi đỏ, \(b\) bi xanh và \(c\) bi vàng, đặt \(x, y, z\) là số bi lấy theo từng màu. Với mỗi bộ \(x + y + z = k\) thỏa đề, có \(C_a^x C_b^y C_c^z\) cách. Muốn đủ ba màu, yêu cầu \(x, y, z \ge 1\).
- Tổng chia hết: Phân nhóm theo số dư. Chẳng hạn, chọn ba thẻ có tổng chia hết cho 3 thì ba số dư hoặc giống nhau, hoặc lần lượt là 0, 1, 2. Nếu ba nhóm có kích thước \(n_0, n_1, n_2\), số cách là:
\[C_{n_0}^3 + C_{n_1}^3 + C_{n_2}^3 + n_0 n_1 n_2\]
- Tích chia hết: Với tích chia hết cho 6 hoặc 10, đếm bù các bộ thiếu một trong hai thừa số nguyên tố cần có. Cộng lại phần giao vì phần này đã bị trừ hai lần.
- Có hoàn lại: Khi xác suất rút bi đỏ mỗi lượt là \(p\) và các lượt độc lập, xác suất đúng \(r\) lượt đỏ trong \(k\) lượt là \(C_k^r p^r (1 - p)^{k-r}\).
2. Chuyển vật một chiều
- Hộp I có \(R_1\) bi đỏ trong \(N_1\) viên. Khi chuyển \(k\) viên sang hộp II, gọi \(H_i\) là biến cố chuyển đúng \(i\) bi đỏ. Khi đó:
\[P(H_i) = \frac{C_{R_1}^i C_{N_1 - R_1}^{k - i}}{C_{N_1}^k}\]
- Rút nhiều viên: Cập nhật thành phần hộp II theo từng \(H_i\), rồi tính \(P(A) = \sum_i P(H_i) P(A \mid H_i)\).
- Rút đúng một viên: Nếu hộp II ban đầu có \(R_2\) bi đỏ trong \(N_2\) viên, xác suất rút đỏ là:
\[\frac{R_2 + k \frac{R_1}{N_1}}{N_2 + k}\]
Tử số là số bi đỏ trung bình sau khi chuyển. Với chuỗi chuyển từng viên, áp dụng lần lượt theo thứ tự các hộp.
3. Trao đổi, truy nguồn và thời điểm dừng
- Trao đổi đồng thời: Lấy vật từ thành phần ban đầu của hai hộp ở mỗi lượt. Số bi đỏ giữ nguyên nếu hai hộp gửi đi cùng số bi đỏ. Với nhiều lượt, cập nhật trạng thái sau mỗi lượt.
- Chuyển rồi trả lại: Tính lượt trả theo thành phần hộp nhận sau khi đã chuyển, kể cả các viên vừa đến.
- Truy nguồn: Gọi \(E\) là kết quả quan sát và \(K\) là biến cố về nguồn gốc hoặc thành phần vật đã chuyển. Tính:
\[P(K \mid E) = \frac{P(K \cap E)}{P(E)}\]
- Dừng ở lần rút thứ \(k\): Muốn gặp bi đỏ thứ \(m\) đúng ở lần \(k\), cần có đúng \(m - 1\) bi đỏ trong \(k - 1\) lần đầu và lần \(k\) rút được bi đỏ. Tính xác suất của giai đoạn đầu bằng tổ hợp, rồi nhân với tỉ lệ bi đỏ còn lại.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Nhận dạng
Ví dụ 1 (TME): Một hộp kín đựng 7 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Người ta bốc ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi ra khỏi hộp. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách bốc sao cho trong 4 viên bi lấy ra có đủ cả 3 màu?
Ví dụ 2 (TME): Một hộp đựng 8 viên bi màu đỏ và 7 viên bi màu xanh. Rút ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi từ hộp. Tính xác suất để trong 3 viên bi rút ra có đúng 2 viên bi màu đỏ. Viết xác suất dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) với \(a, b\) là các số nguyên dương. Tính \(100a + b\).
Ví dụ 3 (TME): Một hộp chứa 70 chiếc thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 70. Người ta rút ngẫu nhiên đồng thời 2 chiếc thẻ ra khỏi hộp. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách rút sao cho tổng hai số ghi trên hai thẻ được rút ra là một số chẵn?
Vận dụng
Ví dụ 4 (TME): Hộp I đựng 4 viên bi màu đỏ và 3 viên bi màu xanh. Hộp II đựng 3 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Người ta lấy ngẫu nhiên đồng thời 1 viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II và 1 viên bi từ hộp II bỏ sang hộp I. Tính xác suất để số bi đỏ trong hộp I sau khi trao đổi không thay đổi so với ban đầu. Viết xác suất dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) với \(a, b\) là các số nguyên dương. Tính \(100a + b\).
Ví dụ 5 (TME): Một hộp kín chứa 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu vàng. Người ta chọn ngẫu nhiên đồng thời 5 viên bi từ hộp. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn sao cho số viên bi màu đỏ được chọn bằng đúng số viên bi màu xanh được chọn?
