Xác suất để một thí sinh bị 0 điểm bài thi môn Toán

Tính xác suất để một thí sinh bị 0 điểm môn Toán, được 10 điểm bài thi trắc nghiệm môn toán trong kì thi thpt quốc gia

Trong kì thi thpt quốc gia năm ngoái, số lượng thí sinh bị điểm 0 môn Toán là 951 em trong tổng số 917.484 dự thi, chiếm tỉ lệ hơn 0,1%.

Tổng số thí sinh: 917.484. Số thí sinh đạt 0 điểm: 951 (tỉ lệ 0,1%). Số thí sinh đạt 10 điểm: 2 (tỉ lệ 2,2 phần triệu). Điểm số có nhiều thí sinh đạt nhất: 5,4 điểm.

Đây là một con số lớn bởi nếu thí sinh cứ "nhắm mắt" tô đáp án một cách ngẫu nhiên thì tỉ lệ này nhỏ hơn rất nhiều. Vậy xác suất để một thí sinh bị điểm 0 môn Toán là bao nhiêu? Và rộng hơn, xác suất để thí sinh đạt một điểm số cho trước (chẳng hạn 10 điểm, 8 điểm, 5 điểm) là bao nhiêu?

Ta xét 3 bài toán xác suất từ thực tế như sau:

BÀI 1. Bài thi môn Toán gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm khách quan. Mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng.
Một thí sinh làm bài theo kiểu "tô đáp án một cách ngẫu nhiên".
a) Tính xác suất để thí sinh đó bị 0 điểm.
b) Tính xác suất để thí sinh đó được 10 điểm.

ĐÁP SỐ:
a) (3/4)^50, tức khoảng 0,57/1.000.000 (0,57 phần triệu).
b) (1/4)^50, tức khoảng 0,79/10^32, dưới mẫu là số 1 và 32 số 0.

Tổng quát bài 1, ta được bài toán 2 như sau:

BÀI 2. Tính xác suất để thí sinh đó làm đúng được k câu, với k là số tự nhiên không vượt quá 50.
(Lúc này thí sinh sẽ được số điểm là k*0,2)

ĐÁP SỐ: Xác suất để thí sinh làm đúng k câu (đạt 0,2*k điểm) là P(k) xác định bởi công thức sau:

BÀI 3. Hỏi xác suất thí sinh đó đạt được ở điểm nào là cao nhất?

ĐÁP SỐ: Điểm 2,4.
P(k) ở Bài toán 2 đạt max tại k=12. Áp dụng công thức ở Bài 2, ta được xác suất đạt 2,4 điểm gần bằng 0,1294 tức 12,94%.

Lưu ý rằng để ra con số này thì phải có giả thiết "tô đáp án một cách ngẫu nhiên", mà thực tế thì thí sinh không thể làm bài theo kiểu ngẫu nhiên như vậy.

BÀI TOÁN 4. Xác suất bị điểm liệt môn Toán là bao nhiêu?