Trong toán học và thực tiễn, tỉ số vàng $$\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$ là một con số đặc biệt. Có rất nhiều đẳng thức, tính chất đẹp...
Trong toán học và thực tiễn, tỉ số vàng
$$\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$ là một con số đặc biệt.
Có rất nhiều đẳng thức, tính chất đẹp liên quan đến tỉ số vàng. Bài viết này nêu một tính chất như vậy.
Ta thấy:
$$\varphi^2+\varphi^{-2}=3$$ $$\varphi^4+\varphi^{-4}=7$$ $$\varphi^6+\varphi^{-6}=18$$ đều là những số nguyên dương.
Tổng quát, ta có tính chất sau:
$$\varphi^{2n}+\varphi^{-2n}$$ luôn là số nguyên dương.
Đặt $u_n=\varphi^{2n}+\varphi^{-2n}, n \in \mathbb{N}^*.$
Do $\varphi > 0$ nên $u_n > 0$, với mọi $n \in \mathbb{N}^*.$
Mặt khác ta có
$u_{n+2}+u_n=\varphi^{2n+4}+\varphi^{-2n-4}+\varphi^{2n}+\varphi^{-2n}$
$=(\varphi^{2n+2}+\varphi^{-2n-2})(\varphi^{2}+\varphi^{-2})=3u_{n+1}$
Suy ra $u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*.$
Do $u_1 = 3, u_2=7$ là các số nguyên nên $u_n$ nguyên, với mọi $n \in \mathbb{N}^*.$
Cách 2. (Long Tuấn)
Dùng phương pháp quy nạp.
Xem thêm về tỉ số vàng.
$$\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$ là một con số đặc biệt.
Có rất nhiều đẳng thức, tính chất đẹp liên quan đến tỉ số vàng. Bài viết này nêu một tính chất như vậy.
Ta thấy:
$$\varphi^2+\varphi^{-2}=3$$ $$\varphi^4+\varphi^{-4}=7$$ $$\varphi^6+\varphi^{-6}=18$$ đều là những số nguyên dương.
Tổng quát, ta có tính chất sau:
Định lí
Với mọi số nguyên dương $n$,$$\varphi^{2n}+\varphi^{-2n}$$ luôn là số nguyên dương.
Chứng minh
Cách 1. (Hồ Xuân Đức, Duy Hunter)Đặt $u_n=\varphi^{2n}+\varphi^{-2n}, n \in \mathbb{N}^*.$
Do $\varphi > 0$ nên $u_n > 0$, với mọi $n \in \mathbb{N}^*.$
Mặt khác ta có
$u_{n+2}+u_n=\varphi^{2n+4}+\varphi^{-2n-4}+\varphi^{2n}+\varphi^{-2n}$
$=(\varphi^{2n+2}+\varphi^{-2n-2})(\varphi^{2}+\varphi^{-2})=3u_{n+1}$
Suy ra $u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*.$
Do $u_1 = 3, u_2=7$ là các số nguyên nên $u_n$ nguyên, với mọi $n \in \mathbb{N}^*.$
Cách 2. (Long Tuấn)
Dùng phương pháp quy nạp.
Xem thêm về tỉ số vàng.
Theo FB MathVn. Người đăng: Sơn Phan.