Bài tập 11. Kết quả của tổng $S=1+2.5+{{3.5}^{2}}+...+{{79.5}^{78}}$ được viết dưới dạng $a+\dfrac{315}{16}{{.5}^{b}}\left( a\in \mathbb{Q}...
Bài tập 11.
Kết quả của tổng $S=1+2.5+{{3.5}^{2}}+...+{{79.5}^{78}}$ được viết dưới dạng $a+\dfrac{315}{16}{{.5}^{b}}\left( a\in \mathbb{Q},b\in \mathbb{N} \right).$ Tính giá trị biểu thức $P=a+\dfrac{b}{16}.$A. $P=4.$
B. $P=5.$
C. $P=\dfrac{79}{16}.$
D. $P=20.$
Lời giải
Từ giả thiết suy ra $5S=3+{{2.5}^{2}}+{{3.5}^{3}}+...+{{79.5}^{79}}$ . Do đó
$-4S=S-5S=1+5+{{5}^{2}}+...+{{5}^{78}}-{{10.5}^{79}}$ $=\dfrac{1-{{5}^{79}}}{1-5}-{{79.5}^{79}}$ $=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{{{315.5}^{79}}}{4}$ $\Rightarrow S=\dfrac{1}{16}+\dfrac{315}{16}{{.5}^{79}}.$
Vì $S=\dfrac{1}{16}+\dfrac{315}{16}{{.5}^{79}}$ $=a+\dfrac{315}{16}{{.5}^{b}}$ $\Rightarrow a=\dfrac{1}{16},\,\,b=79$ $\Rightarrow P=\dfrac{1}{16}+\dfrac{79}{16}=5.$
Chọn đáp án B.
Bài tập 12.
Biết rằng $S=1+2.3+{{3.3}^{2}}+...+{{11.3}^{10}}=a+\dfrac{{{21.3}^{b}}}{4}.$ Tính $P=a+\dfrac{b}{4}.$A. $P=1.$
B. $P=2.$
C. $P=3.$
D. $P=4.$
Lời giải
Từ giả thiết suy ra $3S=3+{{2.3}^{2}}+{{3.3}^{3}}+...+{{11.3}^{11}}.$ Do đó
$-2S=S-3S=1+3+{{3}^{2}}+...+{{3}^{10}}-{{10.3}^{11}}$ $=\dfrac{1-{{3}^{11}}}{1-3}-{{11.3}^{11}}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{{{21.3}^{11}}}{2}$ $\Rightarrow S=\dfrac{1}{4}+\dfrac{21}{4}{{.3}^{11}}.$
Vì $S=\dfrac{1}{4}+\dfrac{{{21.3}^{11}}}{4}=a+\dfrac{{{21.3}^{b}}}{4}$ $\Rightarrow a=\dfrac{1}{4},\,\,b=11\xrightarrow[{}]{}P=\dfrac{1}{4}+\dfrac{11}{4}=3.$
Chọn C.
Bài tập 13.
Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{S}_{2}}=4$ và ${{S}_{3}}=13.$ Tìm ${{S}_{5}}.$A. ${{S}_{5}}=121$hoặc ${{S}_{5}}=\dfrac{181}{16}.$
B.${{S}_{5}}=121$ hoặc ${{S}_{5}}=\dfrac{35}{16}.$
C.${{S}_{5}}=114$hoặc ${{S}_{5}}=\dfrac{185}{16}.$
D. ${{S}_{5}}=141$hoặc ${{S}_{5}}=\dfrac{183}{16}.$
Lời giải
Chọn A
Ta có ${{u}_{3}}={{S}_{3}}-{{S}_{2}}=9$ $\Rightarrow {{u}_{1}}{{q}^{2}}=9$ $\Rightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{9}{{{q}^{2}}}.$
Vì ${{S}_{2}}=4$ nên ${{u}_{1}}+{{u}_{1}}q=4.$
Do đó $\dfrac{9}{{{q}^{2}}}+\dfrac{9}{q}=4$ $\Leftrightarrow 4{{q}^{2}}-9q-9=0$ $\Leftrightarrow q=3$ hoặc $q=-\dfrac{3}{4}.$
+ Với $q=3$ thì ${{u}_{1}}=1,$ ${{u}_{6}}={{u}_{1}}{{q}^{5}}=243.$
Suy ra ${{S}_{5}}=\dfrac{{{u}_{1}}-{{u}_{6}}}{1-q}=\dfrac{1-243}{1-3}=121.$
+ Với $q=-\dfrac{3}{4}$ thì ${{u}_{1}}=16,$ ${{u}_{6}}=-\dfrac{243}{64}.$
Suy ra ${{S}_{5}}=\dfrac{{{u}_{1}}-{{u}_{6}}}{1-q}=\dfrac{181}{16}.$
Vậy phương án đúng là $
A.$
Bài tập 14.
Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=8$ và biểu thức $4{{u}_{3}}+2{{u}_{2}}-15{{u}_{1}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính ${{S}_{10}}.$A.${{S}_{10}}=\dfrac{2\left( {{4}^{11}}+1 \right)}{{{5.4}^{9}}}$.
B. ${{S}_{10}}=\dfrac{2\left( {{4}^{10}}+1 \right)}{{{5.4}^{8}}}$.
C. ${{S}_{10}}=\dfrac{{{2}^{10}}-1}{{{3.2}^{6}}}$.
D. ${{S}_{10}}=\dfrac{{{2}^{11}}-1}{{{3.2}^{7}}}$
Lời giải
Đáp án $B.$
Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân. Khi đó $4{{u}_{3}}+2{{u}_{2}}-15{{u}_{1}}=2{{\left( 4q+1 \right)}^{2}}-122\ge -122,\forall q.$
Dấu bằng xảy ra khi $4q+1=0$ $\Leftrightarrow q=-\dfrac{1}{4}.$
Suy ra: ${{S}_{10}}={{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{10}}}{1-q}=8.\dfrac{1-{{\left( -\dfrac{1}{4} \right)}^{10}}}{1-\left( -\dfrac{1}{4} \right)}$ $=\dfrac{2\left( {{4}^{10}}-1 \right)}{{{5.4}^{8}}}.$
Vậy phương án đúng là $B.$
Bài tập 15.
Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=2,$ công bội dương và biểu thức ${{u}_{4}}+\dfrac{1024}{{{u}_{7}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S={{u}_{11}}+{{u}_{12}}+...+{{u}_{20}}.$A. $S=2046.$
B. $S=2097150.$
C.$S=2095104.$
D. $S=1047552.$
Lời giải
Chọn C
Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân, $q>0.$
Ta có ${{u}_{4}}+\dfrac{1024}{{{u}_{7}}}=2{{q}^{3}}+\dfrac{512}{{{q}^{6}}}.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:$2{{q}^{3}}+\dfrac{512}{{{q}^{6}}}={{q}^{3}}+{{q}^{3}}+\dfrac{512}{{{q}^{6}}}\ge 3\sqrt[3]{{{q}^{3}}.{{q}^{3}}.\dfrac{512}{{{q}^{6}}}}=24.$
Suy ra ${{u}_{4}}+\dfrac{1024}{{{u}_{7}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $24$ khi ${{q}^{3}}=\dfrac{512}{{{q}^{6}}}$ $\Leftrightarrow q=2.$
Ta có ${{S}_{10}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{10}} \right)}{1-q}={{2}^{11}}-2;$ ${{S}_{10}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{20}} \right)}{1-q}={{2}^{21}}-2.$
Do đó $S={{S}_{20}}-{{S}_{10}}=2095104.$ Vậy phương án đúng là $C.$
Bài tập 16.
Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có $\left\{ \begin{align} & {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=-540 \\ & {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=180 \\ \end{align} \right.$. Tính ${{S}_{21}}.$A. ${{S}_{21}}=\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{21}}+1 \right)$
B.${{S}_{21}}={{3}^{21}}-1.$
C.${{S}_{21}}=1-{{3}^{21}}.$
D. ${{S}_{21}}=-\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{21}}+1 \right).$
Lời giải
Đáp án $A.$
Ta có ${{u}_{4}}+{{u}_{6}}=-540$ $\Leftrightarrow \left( {{u}_{3}}+{{u}_{5}} \right)q=-540.$
Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được $q=-3.$ Lại có ${{u}_{3}}+{{u}_{5}}=180$ $\Leftrightarrow {{u}_{1}}\left( {{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)=180.$
Vì $q=-3$ nên ${{u}_{1}}=2.$ Suy ra ${{S}_{21}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{21}} \right)}{1-q}=\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{21}}+1 \right).$
Vậy phương án đúng là $A.$
Bài tập 17.
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $1;\text{ }\,4;\text{ }\,16;\text{ }\,64;\text{ }\cdots $ Gọi ${{S}_{n}}$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?A. ${{S}_{n}}={{4}^{n-1}}.$
B. ${{S}_{n}}=\dfrac{n\left( 1+{{4}^{n-1}} \right)}{2}.$
C. ${{S}_{n}}=\dfrac{{{4}^{n}}-1}{3}.$
D. ${{S}_{n}}=\dfrac{4\left( {{4}^{n}}-1 \right)}{3}.$
Lời giải
Cấp số nhân đã cho có
$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & q=4 \\ \end{align} \right.$ $\xrightarrow[{}]{}{{S}_{n}}={{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=1.\dfrac{1-{{4}^{n}}}{1-4}=\dfrac{{{4}^{n}}-1}{3}.$
Chọn C.
Bài tập 18.
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $\dfrac{1}{4};\text{ }\dfrac{1}{2};\text{ }1;\text{ }\cdots ;\text{ }2048.$ Tính tổng $S$ của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho.A. $S=2047,75.$
B. $S=2049,75.$
C. $S=4095,75.$
D. $S=4096,75.$
Lời giải
Cấp số nhân đã cho có
$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=\dfrac{1}{4} \\ & q=2 \\ \end{align} \right.$ $\xrightarrow[{}]{}2048={{2}^{11}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}=\dfrac{1}{2}{{.2}^{n-1}}={{2}^{n-2}}$ $\Leftrightarrow n=13.$
Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 13 số hạng.
Vậy ${{S}_{13}}={{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{13}}}{1-q}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1-{{2}^{13}}}{1-2}=2047,75$ $\xrightarrow[{}]{}$ Chọn A.
Xem thêm: + Lý thuyết: Định nghĩa, các công thức liên quan cấp số nhân (Phần 0).
+ Bài tập cấp số nhân có lời giải: Phần -2 / Phần -1 / Phần 1 / Phần 2 / Phần 3 - Phần 4 - Phần 5.
