Câu hỏi số 14. Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là $1,2\%.$ Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là $2$ triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác ...
Câu hỏi số 14.
Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là $1,2\%.$ Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là $2$ triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau $9$ năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu (đơn vị: nghìn người)?Lời giải
Đặt ${{P}_{0}}=2000000={{2.10}^{6}}$ và $r=1,2\%=0,012$.
Gọi ${{P}_{n}}$ là số dân của tỉnh M sau $n$ năm nữa.
Ta có: ${{P}_{n+1}}={{P}_{n}}+{{P}_{n}}r={{P}_{n}}\left( 1+r \right)$.
Suy ra $\left( {{P}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $P_1={{P}_{0}}(1+r)$ và công bội $q=1+r$.
Do đó số dân của tỉnh $M$ sau $9$ năm nữa là: ${{P}_{9}}=P_1.q^8={{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{9}}={{2.10}^{6}}{{\left( 1,012 \right)}^{9}}$ $\approx 2227000$ (người) $= 2227$ (nghìn người).
Đáp số: $\boxed{2227}.$
Câu hỏi số 15.
Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác $0$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội $q$. Tìm $q.$Lời giải
Giả sử ba số hạng $a;\,\,b;\,\,c$ lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, khi đó $b;\,\,a;\,\,c$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân công bội $q.$
Ta có
$\left\{ \begin{align} & a+c=2b \\ & a=bq;\,c=b{{q}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow bq+b{{q}^{2}}=2b$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & b=0 \\ & {{q}^{2}}+q-2=0 \\ \end{align} \right..$
+ Nếu $b=0\Rightarrow a=b=c=0$ nên $a;\,\,b;\,\,c$ là cấp số cộng công sai $d=0$ (vô lí).
+ Nếu ${{q}^{2}}+q-2=0\Leftrightarrow q=1$ hoặc $q=-2.$ Nếu $q=1\Rightarrow a=b=c$ (vô lí), do đó $q=-2.$
Đáp số: $\boxed{-2}.$
Câu hỏi số 16.
Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có ${{10}^{12}}$ tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào (đơn vị: $10^{12}$ tế bào)?Lời giải
Lúc đầu có ${{10}^{12}}$ tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với ${{u}_{1}}={{10}^{12}}$ và công bội $q=2$.
Do cứ $20$ phút phân đôi một lần nên sau $3$ giờ sẽ có $9$lần phân chia tế bào.
Ta có ${{u}_{10}}$ là số tế bào nhận được sau $3$ giờ.
Vậy, số tế bào nhận được sau $3$ giờ là ${{u}_{10}}={{u}_{1}}{{q}^{9}}={{512.10}^{12}}$.
Đáp số: $\boxed{512}.$
Câu hỏi số 17.
Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là $138$ ngày (nghĩa là sau $138$ ngày khối lượng của nguyêb tố đó chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm, đơn vị: $10^{-15}$ gam) khối lượng còn lại của $20$ gam poloni 210 sau $7314$ ngày.Lời giải
Kí hiệu ${{u}_{n}}$ (gam) là khối lượng còn lại của $20$ gam poloni 210 sau $n$ chu kì bán rã.
Ta có $7314$ ngày tương ứng với $53$ chu kì bán rã. Theo đề bài ra, ta cần tính ${{u}_{53}}$.
Từ giả thiết suy ra dãy (${{u}_{n}}$) là một cấp số nhân với số hạng đầu là ${{u}_{1}}=\dfrac{20}{2}=10$ và công bội $q=\dfrac{1}{2}.$
Do đó ${{u}_{53}}=10.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{52}}\approx 2,{{22.10}^{-15}}$ (gam).
Đáp số: $\boxed{2,22}.$
Câu hỏi số 18.
Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là $7$ triệu đồng một tháng. Sau $36$ tháng người đó được tăng lương $7\%.$ Hằng tháng người đó tiết kiệm $20\%$ lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất $0,3\%$/tháng theo hình thức lãi kép (nghĩa là lãi của tháng này được nhập vào vốn của tháng kế tiếp). Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng. Hỏi sau $36$ tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được (cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị: triệu đồng).Lời giải
Đặt $a=7$ (triệu đồng), $m=20\%$, $n=0,3\%$, $t=7\%$.
Hết tháng thứ nhất, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là ${{T}_{1}}=am{{(1+n)}^{1}}$.
Hết tháng thứ hai, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là
${{T}_{2}}=({{T}_{1}}+am)(1+n)$ $=am{{(1+n)}^{2}}+am{{(1+n)}^{1}}$.
...
Hết tháng thứ $36$ (lúc này vẫn chưa tăng lương), người đó có tổng số tiền tiết kiệm là
${{T}_{36}}=am{{(1+n)}^{36}}+am{{(1+n)}^{35}}+$ $...+am(1+n)$ $=am.(1+n)\dfrac{{{(1+n)}^{36}}-1}{n}.$
Thay số ta được ${{T}_{36}}\approx 53,3$ (triệu đồng).
Đáp số: $\boxed{53,3}.$
Xem thêm: + Lý thuyết: Định nghĩa, các công thức liên quan cấp số nhân (Phần 0).
+ Bài tập cấp số nhân có lời giải: Phần -2 / Phần -1 / Phần 1 / Phần 2 / Phần 3 - Phần 4 - Phần 5.
