Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Định lí. Cho cấp số nhân \left( {{u}_{n}} \right) với công bội q\ne 1. Đặt ${{S...
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Định lí. Cho cấp số nhân \left( {{u}_{n}} \right) với công bội q\ne 1. Đặt {{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}. Khi đó S_n=u_1.\dfrac{1-q^n}{1-q}.Chú ý: Nếu q=1 thì cấp số nhân là {{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }...,\text{ }{{u}_{1}},\text{ }... Khi đó {{S}_{n}}=n{{u}_{1}}.
Một số ví dụ có lời giải
Ví dụ 1a.
Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366.Lời giải.
{{u}_{1}}=18,{{u}_{2}}=54 \Rightarrow q=3.
{{u}_{n}}=39366\Leftrightarrow {{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}=39366 \Leftrightarrow {{18.3}^{n-1}}=39366 \Leftrightarrow {{3}^{n-1}}={{3}^{7}}\Leftrightarrow n=8 .
Vậy {{\text{S}}_{8}}=18.\dfrac{1-{{3}^{8}}}{1-3}=59040.
Ví dụ 1b.
Cho cấp số nhân ({{u}_{n}}) thỏa: \left\{ \begin{align} & {{u}_{4}}=\dfrac{2}{27} \\ & {{u}_{3}}=243{{u}_{8}} \\ \end{align} \right..Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân.
Lời giải.
Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}{{q}^{3}}=\dfrac{2}{27} \\ & {{u}_{1}}{{q}^{2}}=243.{{u}_{1}}{{q}^{7}} \\ \end{align} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}{{q}^{3}}=\dfrac{2}{27} \\ & {{q}^{5}}=\dfrac{1}{243} \\ \end{align} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & q=\dfrac{1}{3} \\ & {{u}_{1}}=2 \\ \end{align} \right.
Tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân:
{{S}_{10}}={{u}_{1}}\dfrac{1-{{q}^{10}}}{1-q}=2.\dfrac{{{1-\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{10}}}{1-\dfrac{1}{3}} =3\left[ 1-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{10}} \right]=\dfrac{59048}{19683}.
Ví dụ 1c.
Tính tổng sau: {{\text{S}}_{n}}={{\left( 2+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 4+\dfrac{1}{4} \right)}^{2}}+...+{{\left( {{2}^{n}}+\dfrac{1}{{{2}^{n}}} \right)}^{2}}.Lời giải.
\begin{align} & {{\text{S}}_{n}}={{2}^{2}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+2+{{2}^{4}}+\dfrac{1}{{{2}^{4}}}+2+...+{{2}^{2n}}+\dfrac{1}{{{2}^{2n}}}+2 \\ & =\left( {{2}^{2}}+{{2}^{4}}+...+{{2}^{2n}} \right)+\left( \dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{4}}}+...+\dfrac{1}{{{2}^{2n}}} \right)+2n \\ & =4.\dfrac{1-{{4}^{n}}}{1-4}+\dfrac{1}{4}\dfrac{1-\dfrac{1}{{{4}^{n}}}}{1-\dfrac{1}{4}}+2n \\ & =\dfrac{{{4}^{n}}-1}{3}\left( 4-\dfrac{1}{{{4}^{n}}} \right)+2n. \\ \end{align}
Ví dụ 1d.
Tính tổng {{S}_{n}}=8+88+888+...+\underbrace{88...8}_{n\ so\ 8}Lời giải.
\begin{align} &{{S}_{n}}=\dfrac{8}{9}\left( 9+99+999+\underbrace{99...9}_{n\ so\ 9} \right) \\ & =\dfrac{8}{9}\left( 10-1+{{10}^{2}}-1+{{10}^{3}}-1+...+{{10}^{n}}-1 \right) \\ \end{align} \begin{align} & =\dfrac{8}{9}\left[ \left( 10+{{10}^{2}}+{{10}^{3}}+...+{{10}^{n}} \right)-n \right] \\ & =\dfrac{8}{9}\left( 10.\dfrac{1-{{10}^{n}}}{1-10}-n \right)\\ &=\dfrac{80\left( {{10}^{n}}-1 \right)}{81}-\dfrac{8}{9}n. \\ \end{align}
Xem thêm: + Lý thuyết: Định nghĩa, các công thức liên quan cấp số nhân (Phần 0).
+ Bài tập cấp số nhân có lời giải: Phần -2 / Phần -1 / Phần 1 / Phần 2 / Phần 3 - Phần 4 - Phần 5.
