Đề câu 3 VMO 2026 Cho $n, a, b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $1 < n^2< a < b < n^2+n+3$. Tìm tất cả các ước nguyên dương thu...
Đề câu 3 VMO 2026
Cho $n, a, b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $1 < n^2< a < b < n^2+n+3$. Tìm tất cả các ước nguyên dương thuộc khoảng $(n^2;n^2+n+3)$ của tích $ab$.Đáp án của Bộ (gõ lại)
Gọi $c$ là ước nguyên dương thuộc khoảng $(n^2,n^2+n+3)$ của tích $ab$.*) $c=a$: thỏa mãn điều kiện bài toán.
*) $c=b$: thỏa mãn điều kiện bài toán.
Giả sử $c\ne a,\ c\ne b$. Ta sẽ chứng minh có điều vô lý.
Đặt $a=n^2+i,\ b=n^2+j,\ c=n^2+k$ $(1\le i,j,k\le n+2,\ k\ne i,\ k\ne j\ \text{và}\ i < j)$.
Vì $n^2\equiv -k\pmod{n^2+k}$ nên $ab=(n^2+i)(n^2+j)\equiv (i-k)(j-k)\pmod{n^2+k}$.
Vì $c=n^2+k$ là ước của $ab$ nên $(i-k)(j-k)\equiv 0\pmod{n^2+k}$.
Do $|i-k|\ge1,\ |j-k|\ge1$ nên $|i-k|\cdot|j-k|\ge n^2+k>n^2$.
• Xét $1\le i < j\le n+1$:
Nếu $1\le k\le n+1$ thì $1\le|i-k|\le n,\ 1\le|j-k|\le n$ ⇒ $|i-k|\cdot|j-k|\le n^2$. Điều này vô lý.
Nếu $k=n+2$:
+) Khi $2\le i < j\le n+1$ thì $|i-k|=n+2-i\le n,\ |j-k|=n+2-j\le n-1$.
⇒ $|i-k|\cdot|j-k|\le n(n-1)< n^2$. Điều này là vô lý.
+) Khi $i=1$ thì $|i-k|=n+2-1=n+1$.
Nếu $j\ge3$ thì $|j-k|=n+2-j\le n-1$ ⇒ $|i-k|\cdot|j-k|\le (n+1)(n-1)< n^2$. Điều này vô lý.
Nếu $j=2$ thì $|j-k|=n+2-2=n$ ⇒ $|i-k|\cdot|j-k|=(n+1)n< n^2+n+2$. Điều này vô lý.
• Xét $j=n+2$:
Nếu $k\ge2$ thì $|i-k|\le n+1-2=n-1,\ |j-k|=n+2-k\le n$ ⇒ $|i-k|\cdot|j-k|\le n(n-1)< n^2$. Điều này vô lý.
Nếu $k=1$ thì $|i-k|=i-1,\ |j-k|=n+1$ ⇒ $|i-k|\cdot|j-k|=(i-1)(n+1)$.
Suy ra $(i-1)(n+1)\ge n^2+1$ ⇒ $i=n+1$.
⇒ $n(n+1)\ge n^2+1$ ⇒ $n-1\ge n^2+1$ ⇒ $n-1\ge n^2+1$. Điều này vô lý.
Do đó không tồn tại ước nguyên dương $c\in(n^2;,n^2+n+3)$ của tích $ab$ mà $c\ne a,\ c\ne b$.
Vậy tập hợp các ước của $ab$ thỏa mãn bài toán là $\{a;,b\}$.
