Bài toán "bẻ thước": Sử dụng diện tích để tính xác suất

Giải chi tiết bài toán xác suất "bẻ thước" cắt thanh gỗ thành 3 đoạn để ghép thành tam giác. Sử dụng diện tích để giải bài toán xác suất hình học hay.

Trong hình học và xác suất, bài toán "bẻ thước" là một ví dụ kinh điển về việc sử dụng diện tích để tính xác suất. Khác với các bài toán rời rạc, ở đây các điểm cắt có thể là bất kỳ vị trí nào trên thanh gỗ, dẫn đến việc sử dụng không gian mẫu trên mặt phẳng tọa độ.

Bài toán bẻ thước thành 3 đoạn: Xác suất để ba đoạn ghép thành một tam giác

Đề bài

Cho một cây thước gỗ thẳng có độ dài $1$ m. Người ta thực hiện hai nhát cắt ngẫu nhiên để chia thanh gỗ thành $3$ đoạn.

Tính xác suất để $3$ đoạn gỗ thu được có thể ghép thành một tam giác.

Lời giải

1. Thiết lập biến số và Không gian mẫu

Gọi độ dài của thanh gỗ là $L=1$. Giả sử hai vị trí cắt ngẫu nhiên trên thanh gỗ (tính từ một đầu) là $x$ và $y$ ($0 < x, y < 1$). Không mất tính tổng quát, giả sử $x < y$. Khi đó, độ dài của ba đoạn gỗ lần lượt là:

\[ a = x, \quad b = y - x, \quad c = 1 - y \]

Vì $x, y$ được chọn ngẫu nhiên trong khoảng $(0, 1)$ kèm điều kiện $x < y$, nên không gian mẫu là tam giác giới hạn bởi 3 đường $x=0, y=1, y=x$, có diện tích là:

\[ S(\Omega) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} \]

2. Điều kiện để tạo thành tam giác

Theo bất đẳng thức tam giác, ba đoạn $a, b, c$ tạo thành một tam giác khi và chỉ khi:

\[ \begin{cases} a+b > c \\ b+c > a \\ c+a > b \end{cases} \]

Thay $a=x, b=y-x, c=1-y$ vào hệ trên, ta được:

Điều kiện 1:

\[x + (y - x) > 1 - y \Rightarrow 2y > 1 \Rightarrow y > \frac{1}{2}\]

Điều kiện 2:

\[(y - x) + (1 - y) > x \Rightarrow 1 - x > x \Rightarrow x < \frac{1}{2}\]

Điều kiện 3:

\[(1 - y) + x > y - x \Rightarrow 1 + 2x > 2y \Rightarrow y - x < \frac{1}{2}\]

3. Xác định miền thỏa mãn và tính diện tích

Miền thuận lợi $D$:

\[ \begin{cases}x < \frac{1}{2}\\ y > \frac{1}{2}\\ y - x < \frac{1}{2} \end{cases}\]

Miền này tạo thành một tam giác nhỏ có các đỉnh là: $(0; 1/2)$, $(1/2; 1/2)$ và $(1/2; 1)$.

Diện tích miền thuận lợi là:

\[ S(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \]

4. Tính xác suất

Xác suất cần tìm là tỉ số giữa diện tích miền thuận lợi và diện tích không gian mẫu:

\[ P = \frac{S(D)}{S(\Omega)} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

Kết luận

Xác suất để ba đoạn gỗ ghép thành một tam giác khi cắt ngẫu nhiên là

\[ \boxed{25\% \text{ hoặc } 0.25} \]

Nhận xét

1) Đây là bài toán xác suất hình học. Kết quả $1/4$ này không phụ thuộc vào chiều dài của thanh gỗ (dù là 1m, 2m hay 15cm thì xác suất vẫn không đổi nếu cắt ngẫu nhiên liên tục).

2) So sánh với bài toán rời rạc (cắt tại vạch chia cm): Khi số vạch chia càng lớn (thanh gỗ càng dài và các vạch càng dày), xác suất rời rạc sẽ tiến dần về giá trị $0.25$ của bài toán liên tục này.