Tính xác suất gặp nhau dựa trên diện tích hình học: Hai người hẹn nhau trong 60 phút, chờ tối đa 15 phút, tính xác suất gặp nhau. Lời giải chi tiết.
Tiếp theo Bài toán "bẻ thước", chúng ta sẽ đến với một ứng dụng thực tế hơn của xác suất hình học: Bài toán cuộc hẹn. Đây là ví dụ điển hình cho việc chuyển đổi biến số thời gian thành các tọa độ hình học để giải quyết vấn đề.
Xác suất hình học: Bài toán cuộc hẹn
Đề bài
Hai người bạn A và B hẹn gặp nhau tại một địa điểm trong khoảng thời gian từ $8\text{h}00$ đến $9\text{h}00$ sáng.
- Mỗi người đến vào một thời điểm ngẫu nhiên và độc lập trong khoảng 60 phút đó.
- Người đến trước sẽ đợi người kia tối đa $15$ phút. Nếu quá thời gian này mà người kia chưa đến, họ sẽ rời đi.
Tính xác suất để hai người gặp được nhau.
Lời giải
1. Thiết lập biến số và Không gian mẫu
Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số phút tính từ $8\text{h}00$ mà người A và người B đến địa điểm hẹn ($0 \le x, y \le 60$).
Vì $x, y$ có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong đoạn $[0, 60]$, không gian mẫu $\Omega$ là một hình vuông cạnh $60$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Diện tích không gian mẫu là:
\[ S(\Omega) = 60 \times 60 = 3600 \]2. Điều kiện để hai người gặp nhau
Hai người gặp được nhau khi và chỉ khi khoảng chênh lệch thời gian đến của họ không quá $15$ phút. Ta có bất phương trình:
\[ |x - y| \le 15 \iff -15 \le x - y \le 15 \]Điều này tương đương với hệ bất phương trình xác định miền thuận lợi $D$:
\[ \begin{cases} y \le x + 15 \\ y \ge x - 15 \end{cases} \]3. Xác định miền thỏa mãn và tính diện tích
Miền thuận lợi $D$ là phần diện tích nằm trong hình vuông và giới hạn bởi hai đường thẳng $y = x + 15$ và $y = x - 15$.
Để tính diện tích $S(D)$ dễ dàng nhất, ta lấy diện tích hình vuông trừ đi diện tích của hai tam giác vuông ở hai góc (phần không gặp nhau). Mỗi tam giác vuông này có cạnh bằng $60 - 15 = 45$.
\[ S(D) = S(\Omega) - 2 \cdot S_{\text{tam giác}} = 60^2 - (45 \times 45) \] \[ S(D) = 3600 - 2025 = 1575 \]
4. Tính xác suất
Xác suất cần tìm là:
\[ P = \frac{S(D)}{S(\Omega)} = \frac{1575}{3600} = \frac{7}{16} \]Chuyển sang số thập phân và phần trăm:
\[ P = 0.4375 = 43.75\% \]Kết luận
Xác suất để hai người bạn gặp được nhau trong điều kiện trên là:
\[ \boxed{43.75\% \text{ hoặc } \frac{7}{16}} \]Mở rộng (The Meeting Problem)
Tổng quát hóa
Nếu tổng thời gian là $T$ và thời gian chờ đợi là $t$, công thức tổng quát sẽ là \[P = 1 - (1 - \frac{t}{T})^2.\]
Ý nghĩa
Bạn có thể thấy dù thời gian chờ là 1/4 tổng thời gian (15/60), nhưng xác suất gặp nhau lại lên tới gần 44%. Điều này cho thấy việc chờ đợi một khoảng ngắn cũng tăng đáng kể cơ hội thành công của cuộc hẹn.
Tất nhiên, nếu tăng $t$ lên càng gần $T$ thì xác suất càng gần $1$.
