Hướng dẫn tìm số điểm cực trị của hàm số xác định bởi nhiều công thức, kèm bảng biến thiên và phân tích điểm ghép của hàm số.
Đề bài
Cho hàm số \[ f(x)= \begin{cases} x(x+3)^2+1 & \text{ khi }\ -4\le x\le0\\ \dfrac{x+7}{x+3} & \text{ khi }\ x<-4\\ 2^x-x & \text{ khi }\ x>0 \end{cases} \] Hỏi hàm số này có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?Lời giải
1. Với $x<-4$
\[ f(x)=\frac{x+7}{x+3} \] \[ f'(x)=\frac{(x+3)-(x+7)}{(x+3)^2} =\frac{-4}{(x+3)^2}<0 \] Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty,-4)$ nên không có cực trị.2. Với $-4 < x < 0$
\[ f(x)=x(x+3)^2+1 \] \[ f'(x)=3(x+3)(x+1) \] \[ f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-3,\;x=-1 \] Xét dấu $f'(x)$ \[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -4 & & -3 & & -1 & & 0\\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \end{array} \] Suy ra $ x=-3$ là điểm cực đại, $x=-1$ là điểm cực tiểu.3. Với $x>0$
\[ f(x)=2^x-x \Rightarrow f'(x)=2^x\ln2-1 \] \[ f'(x)=0 \Leftrightarrow 2^x=\frac1{\ln2} \Leftrightarrow x=\log_2\!\left(\frac1{\ln2}\right) \] Trên $(0,+\infty)$, $x=\log_2\!\left(\frac1{\ln2}\right)$ là điểm cực tiểu.4. Xét các điểm ghép
\[ f(-4)=-3, \quad f(0)=1 \] - Tại $x=-4$: bên trái hàm giảm, bên phải hàm tăng $ \Rightarrow x=-4$ là điểm cực tiểu.- Tại $x=0$: bên trái hàm tăng, bên phải hàm giảm $ \Rightarrow x=0$ là điểm cực đại.
Bảng biến thiên
\[ f(-3)=1,\qquad f(-1)=-3 \] \[ x_0=\log_2\!\left(\frac1{\ln2}\right) \Rightarrow f(x_0)=\frac1{\ln2}-\log_2\!\left(\frac1{\ln2}\right) \] BBT đầy đủ (trên $\mathbb{R}$):
\[
\begin{array}{c|ccccccccccccc}
x & -\infty & & -4 & & -3 & & -1 & & 0 & & x_0 & & +\infty\\
\hline
f'(x) & & - & & + & 0 & - & 0 & + & & - & 0 & + & \\
\hline
f(x) & +\infty & \searrow & -3 & \nearrow & 1 & \searrow & -3 & \nearrow & 1 & \searrow & f(x_0) & \nearrow & +\infty
\end{array}
\]
Kết luận
Các điểm cực trị là \[ x=-4,\,-3,\,-1,\,0,\, \log_2\!\left(\frac1{\ln2}\right) \] Vậy hàm số có tất cả $\boxed{5}$ điểm cực trị.Ý tiếp theo
Xem trong bài viết dưới đây: Bấm xem.
