Bài toán hàm số nhiều công thức có 5 điểm cực trị. Chứng minh nếu f(a1)=f(a2)=...=f(a6) với a1< a2<...< a6 thì a6-a5<1 bằng bảng biến thiên của hàm f.
Đề bài
Cho hàm số \[ f(x)= \begin{cases} x(x+3)^2+1 & \text{ khi }\ -4\le x\le0\\ \dfrac{x+7}{x+3} & \text{ khi }\ x<-4\\ 2^x-x & \text{ khi }\ x>0 \end{cases} \] Giả sử tồn tại sáu số thực \[ a_1<a_2< a_3< a_4< a_5< a_6 \] sao cho \[ f(a_1)=f(a_2)=f(a_3)=f(a_4)=f(a_5)=f(a_6). \] Chứng minh rằng \[ a_6-a_5<1. \]Lời giải
Trong bài viết trước, ta đã chứng minh được hàm số có $5$ điểm cực trị là
\[
x=-4,\,-3,\,-1,\,0,\,
\log_2\!\left(\frac1{\ln2}\right)=x_0
\]
Và có bảng biến thiên
\[
\begin{array}{c|ccccccccccccc}
x & -\infty & & -4 & & -3 & & -1 & & 0 & & x_0 & & +\infty\\
\hline
f'(x) & & - & & + & 0 & - & 0 & + & & - & 0 & + & \\
\hline
f(x) & +\infty & \searrow & -3 & \nearrow & 1 & \searrow & -3 & \nearrow & 1 & \searrow & f(x_0) & \nearrow & +\infty
\end{array}
\]
Giả sử tồn tại sáu số thực
\[
a_1<a_2< a_3< a_4< a_5< a_6
\]
sao cho
\[
f(a_1)=f(a_2)=f(a_3)=f(a_4)=f(a_5)=f(a_6),
\]
thì mỗi số $a_i$ phải nằm trong một khoảng đơn điệu của hàm số, theo thứ tự:
\[
a_1\in(-\infty,-4),\;
a_2\in(-4,-3),\;
a_3\in(-3,-1),\;\]
\[a_4\in(-1,0),\;
a_5\in(0,x_0),\;
a_6\in(x_0,+\infty).
\]
với
\[
x_0=\log_2\frac1{\ln2}\approx0.53 < 1
\]
Ta có
\[
f(a_5+1)-f(a_5)=2^{a_5+1}-(a_5+1)-(2^{a_5}-a_5)=2^{a_5}-1 >0.
\]
Do đó
\[f(a_5+1)>f(a_5)=f(a_6).\]
Do $a_5+1$ và $a_6$ cùng thuộc khoảng $(x_0,+\infty)$, mà $f$ đồng biến trên khoảng này nên từ bất đẳng thức trên suy ra
\[
a_6< a_5+1.
\]
Do đó
\[
a_6-a_5 <1.
\]
Kết luận
\[ \boxed{a_6-a_5<1.} \]
