Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán quốc tế 2026 (ngày 1 - TST) gồm 3 bài toán khó về số học, tổ hợp và hình học, dùng để tuyển chọn 6 học sinh thi IMO
Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán quốc tế năm 2026 (dự IMO 2026)
Thông tin đề thi
Thời gian làm bài: 270 phút (4 giờ 30 phút)
Ngày thi thứ nhất: 26/3/2026 (từ 8h00 đến 12h30)
Địa điểm thi: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
Số lượng thí sinh: 50 - Bấm xem danh sách!
Nội dung đề thi
Bài 1 (6 điểm)
Với số nguyên dương \(k\), tập hợp \(S\) gồm các số nguyên dương được gọi là tập hợp \(k\)-Olympic nếu như nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:
(i) \(S \ne \varnothing.\)
(ii) Với mọi \(n \in S\) thì mọi ước nguyên dương của \((2^{5^n} - 3^n)^{k^n}\) cũng thuộc \(S\).
Tìm tất cả các số nguyên dương \(k\) sao cho có duy nhất một tập \(k\)-Olympic như vậy.
Bài 2 (7 điểm)
Cho \(n\) nguyên dương và trong một quốc gia, có \(8n + 3\) sân bay. Với hai sân bay thì giữa chúng sẽ có đường bay trực tiếp hoặc không. Biết rằng nếu giữa hai sân bay mà không có đường bay trực tiếp thì số lượng đường bay trực tiếp của hai sân bay đó sẽ chênh lệch nhau đúng bằng 2. Xác định số đường bay trực tiếp ít nhất.
Bài 3 (7 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn không cân có các đường cao \(AD, BE, CF\). Từ đỉnh \(A\), kẻ các hình chiếu vuông góc xuống các đường thẳng \(EF, FD, DE\), ký hiệu là \(X, Y, Z\). Cho đường thẳng \(BZ\) cắt lại \((BDY)\) ở \(P\), cho \(CY\) cắt lại \((CDZ)\) ở \(Q\). Chứng minh rằng điểm \(X\) có cùng phương tích đến hai đường tròn \((YFP)\), \((ZEQ)\).
