Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán quốc tế năm 2026 ngày thi thứ hai (27/3/2026) gồm 3 bài toán: hình học, đa thức, tổ hợp, chọn ra 6 học sinh thi IMO
Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán quốc tế năm 2026 · Ngày thi thứ hai
Thông tin đề thi
Thời gian làm bài: 270 phút
Ngày thi thứ 2: 27/3/2026
Nội dung đề thi
Bài 4 (6 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) có \(O\) là trung điểm \(BC\). Kẻ các tiếp tuyến \(AE, AF\) của đường tròn \((O)\) đường kính \(BC\), trong đó \(E, F \in (O)\). Các tia \(AE, AF\) cắt \(BC\) theo thứ tự ở các điểm \(K, L\). Cho \(KF, LE\) cắt \((O)\) lần lượt ở các điểm \(M, N\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MON\) cắt lại các đường tròn đường kính \(AB, AC\) theo thứ tự ở \(X, Y\). Chứng minh rằng \(\angle XAB = \angle YAC\).
Bài 5 (7 điểm)
Cho các số nguyên dương \(k,n\) và \(k<n\). Tìm tất cả các đa thức hệ số thực bậc \(kn\), có hệ số bậc cao nhất bằng $1$ và thỏa mãn đa thức sau đây
\[ Q(x)=P(x^n+1)-(P(x))^n \]
có bậc không quá \(kn(n-1)\).
Bài 6 (7 điểm)
Gọi \(\mathcal{H}\) là họ các tập con khác rỗng của tập hợp \(\{1,2,3,\ldots,2027\}\) và có tính chất sau: với mọi tập hợp \(A\in\mathcal{H}\) và với mọi tập con \(B\subset A\), ta đều có \(B\in\mathcal{H}\). Gọi \(l_{\mathcal{H}}, c_{\mathcal{H}}\) lần lượt là số tập con trong \(\mathcal{H}\) mà có chẵn phần tử, có lẻ phần tử. Chứng minh rằng
\[ l_{\mathcal{H}} - c_{\mathcal{H}} \le \binom{2026}{1013}. \]
