Nghịch lý Boy or Girl: Tại sao xác suất không phải là 1/2?

Bạn có biết tại sao biết một gia đình có ít nhất một con trai thì xác suất đứa còn lại cũng là con trai chỉ là 1/3? Lời giải xác suất có điều kiện.

Xác suất có điều kiện: Nghịch lý Boy or Girl

Đề bài

Một gia đình có hai người con. Biết rằng gia đình đó có ít nhất một người con trai. Tính xác suất để cả hai người con trong gia đình đều là con trai. (Giả sử xác suất sinh con trai và con gái là như nhau và bằng $1/2$).

Lời giải (xác suất có điều kiện)

Kí hiệu $T$ là con trai, $G$ là con gái. Không gian mẫu ban đầu khi xét giới tính của hai người con (theo thứ tự sinh) là: \[ S = \{TT; TG; GT; GG\} \Rightarrow n(S) = 4. \]

1. Thiết lập các biến cố

- Gọi \( B \) là biến cố: "Gia đình có ít nhất một con trai".
Ta có \( B = \{TT; TG; GT\} \Rightarrow n(B) = 3 \).
Xác suất của biến cố \( B \) là: \( P(B) = \frac{3}{4} \).

- Gọi \( A \) là biến cố: "Gia đình có cả hai con đều là con trai".
Ta có \( A = \{TT\} \Rightarrow n(A) = 1 \).
Xác suất của biến cố \( A \) là: \( P(A) = \frac{1}{4} \).

2. Tính xác suất có điều kiện

Yêu cầu bài toán là tính xác suất của biến cố \( A \) khi biết biến cố \( B \) đã xảy ra, kí hiệu là \( P(A|B) \).

Vì \( A \subset B \) nên biến cố giao \( A \cap B = A \). Do đó:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)}{P(B)} \]

Thay số vào ta được: \[ P(A|B) = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}. \]

3. Kết luận

Xác suất để cả hai con đều là con trai là \[ P = \boxed{\frac{1}{3}}. \]

Lời giải khác (ngắn gọn)

Với thông tin "có ít nhất một người con trai" thì không gian mẫu mới là \[\Omega'=\{TT, TG, GT\}.\] Biến cố \(A=\{TT\}.\) Xác suất \[P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega')}=\frac13.\]

Phân tích sai lầm thường gặp

Tại sao kết quả không phải là 1/2?

Nhiều người cho rằng vì đã biết một đứa là con trai, nên đứa còn lại chỉ có thể là trai hoặc gái, dẫn đến xác suất là $1/2$. Đây chính là suy luận trong Nghịch lí Boy or Girl nổi tiếng.
Tuy nhiên, kết quả này chỉ đúng nếu đề bài xác định rõ vị trí của đứa con trai đó.

Thông tin cho trước (Điều kiện)	Không gian mẫu mới	Xác suất
Có ít nhất một con trai	$\{TT, TG, GT\}$	1/3
Con đầu lòng là con trai	$\{TT, TG\}$	1/2

Trong trường hợp "ít nhất một", ta không biết đứa con trai đó là anh hay là em, nên trường hợp $GT$ (chị - em trai) và $TG$ (anh - em gái) đều có khả năng xảy ra như nhau.

Nghịch lý Boy or Girl

Một bài viết chi tiết về nghịch lý này đã đăng tải ở đây: BẤM XEM LẠI.