Đáp án - lời giải chi tiết môn Toán khối 11 Kỳ thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 lần thứ XXX năm 2026, hướng dẫn chấm 5 câu trong đề Toán khối 11.
Thông tin đề thi
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG
KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4
LẦN THỨ XXX - NĂM 2026
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN - Khối: 11
Đáp án gồm 07 trang, 05 câu
Trích dẫn đáp án
Câu 1 - Đề bài
Cho dãy số \((x_n)\) xác định như sau: \(x_0 = 34\) và
\[ x_n = \frac{x_{n-1}^3 + 26x_{n-1} + 16}{x_{n-1}^2 - x_{n-1} + 34}, \quad \text{với mọi } n \ge 1. \]
Với mỗi \(n \ge 0\), đặt
\[ y_n = \frac{1}{x_0^2 + 30} + \frac{1}{x_1^2 + 30} + \cdots + \frac{1}{x_n^2 + 30}. \]
Chứng minh rằng dãy số \((y_n)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 1 - Đáp án
Chú ý rằng công thức xác định \(x_n\) có thể được viết lại thành
\[ x_n - 4 = \frac{x_{n-1}^3 + 26x_{n-1} + 16}{x_{n-1}^2 - x_{n-1} + 34} - 4 \] \[=\frac{x_{n-1}^3 - 4x_{n-1}^2 + 30x_{n-1} - 120}{x_{n-1}^2 - x_{n-1} + 34} \] \[ = \frac{(x_{n-1} - 4)(x_{n-1}^2 + 30)}{(x_{n-1}^2 + 30) - (x_{n-1} - 4)}. \]
Bằng quy nạp, ta có ngay \(x_n > 4\) với mọi \(n\). Hơn nữa,
\[ \frac{1}{x_n - 4} = \frac{1}{x_{n-1} - 4} - \frac{1}{x_{n-1}^2 + 30}. \]
Từ đó, một mặt, ta có
\[ \frac{1}{x_{n-1} - 4} > \frac{1}{x_n - 4} \]
nên \(x_{n-1} < x_n\), hay \((x_n)\) là dãy tăng. Hơn nữa ta phải có \(\lim x_n = +\infty\).
(Nếu giới hạn của dãy này là hữu hạn thì chuyển hệ thức trên qua giới hạn ta có ngay điều vô lý.)Mặt khác, công thức trên dẫn đến
\[ y_n = \frac{1}{x_0 - 4} - \frac{1}{x_{n+1} - 4}. \]
Từ đó, ta suy ra dãy \((y_n)\) có giới hạn và
\[ \lim_{n \to +\infty} y_n = \frac{1}{x_0 - 4} = \frac{1}{30}. \]
Đáp án - lời giải chi tiết
Đáp án câu 1
Lời giải câu 2
Đáp án bài 3
Giải chi tiết câu 4
Lời giải bài 5
Xem ĐỀ THI CHÍNH THỨC: Bấm vào đây.
