Đề thi môn Toán khối 11 Kỳ thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 năm 2026 lần thứ XXX của trường chuyên Lê Hồng Phong TPHCM tổ chức cho học sinh lớp 11.
Thông tin đề thi
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG
KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4
LẦN THỨ XXX - NĂM 2026
Môn: TOÁN - Khối: 11
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 04/04/2026
Đề thi gồm 02 trang, 05 câu
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Nội dung đề thi
Câu 1 (4 điểm)
Cho dãy số \((x_n)\) xác định như sau: \(x_0 = 34\) và
\[ x_n = \frac{x_{n-1}^3 + 26x_{n-1} + 16}{x_{n-1}^2 - x_{n-1} + 34}, \quad \text{với mọi } n \ge 1. \]
Với mỗi \(n \ge 0\), đặt \[ y_n = \frac{1}{x_0^2 + 30} + \frac{1}{x_1^2 + 30} + \cdots + \frac{1}{x_n^2 + 30}. \] Chứng minh rằng dãy số \((y_n)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2 (3 điểm)
Ký hiệu \(\mathbb{R}\) là tập các số thực. Tìm tất cả các hàm số \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sao cho với mọi \(x, y \in \mathbb{R}\), ta có
\[ f(2x + f(y)) + f(x) - y = f(3f(x)). \]
Câu 3 (4 điểm)
Xét số nguyên \(n \ge 3\). Ký hiệu \(1 = a_1 < \cdots < a_k = n - 1\) là tất cả các số nguyên dương không vượt quá \(n\) và nguyên tố cùng nhau với \(n\). Đặt \(f(n)\) là ước chung lớn nhất của các số \(a_1^3 - 1, \ldots, a_k^3 - 1\).
Tìm tất cả các số nguyên \(n\) sao cho \(f(n) = 2\).
Câu 4 (5 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Các tia \(AO, BO, CO\) theo thứ tự cắt \(BC, CA, AB\) tại \(X, Y, Z\). Đường thẳng \(XZ\) cắt \(AC\) tại \(E\); đường thẳng \(XY\) cắt \(AB\) tại \(F\). Các đường thẳng \(BE, CF\) cắt nhau tại \(Q\). Các tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của đường tròn \((O)\) cắt nhau tại \(P\).
a) Chứng minh rằng các điểm \(A, O, Q\) thẳng hàng.
b) Giả sử \(PQ, EF\) cắt nhau tại \(T\). Chứng minh rằng \(T\) là trung điểm của \(EF\).
Câu 5 (4 điểm)
Một chuyên gia ẩm thực cần đưa ra đánh giá về \(n\) nhà hàng trong thành phố, trong đó \(n\) là một số nguyên dương. Mỗi cặp nhà hàng được vị chuyên gia so sánh với nhau theo hai tiêu chí: độ ngon của món ăn và chất lượng phục vụ. Với một số cặp nhà hàng, vị chuyên gia không thể quyết định nhà hàng nào tốt hơn nhà hàng còn lại trong một tiêu chí nào đó, nhưng điều này không xảy ra đồng thời ở cả hai tiêu chí.
Ngoài ra, nếu vị chuyên gia cho rằng nhà hàng \(A\) tốt hơn nhà hàng \(B\) ở một tiêu chí nào đó, và đồng thời cho rằng nhà hàng \(B\) tốt hơn nhà hàng \(C\) trong cùng tiêu chí đó, thì ông ta cũng đánh giá rằng nhà hàng \(A\) tốt hơn nhà hàng \(C\) trong tiêu chí ấy.
Chứng minh rằng tồn tại một nhà hàng \(R\) sao cho mọi nhà hàng khác đều bị vị chuyên gia đánh giá kém hơn nhà hàng \(R\) trong ít nhất một tiêu chí.
Ghi chú
• Thí sinh làm MỖI câu trên MỘT tờ giấy làm bài riêng biệt và ghi rõ SỐ CÂU ở dòng đầu tiên của trang thứ nhất (kể cả câu không làm được, nếu có).
• Thí sinh không được sử dụng tài liệu, Giám thị không giải thích gì thêm.
• Xem ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC: Bấm vào đây.
