Tổng hợp các loại hoán vị: hoán vị, vòng quanh, lặp, lệch. Công thức chi tiết kèm ví dụ minh họa giúp học sinh nhận biết và áp dụng nhanh.
Các loại hoán vị thường gặp
1. Hoán vị
Sắp xếp tất cả \(n\) phần tử khác nhau vào \(n\) vị trí.
Số cách xếp là:
\[ P_3 = 3! = 6 \]
Công thức:
\[ P_n = n! \]Ví dụ:
Có 3 học sinh A, B, C xếp vào 3 ghế.Số cách xếp là:
\[ P_3 = 3! = 6 \]
2. Hoán vị vòng quanh
Sắp xếp \(n\) phần tử thành một vòng tròn (không phân biệt quay vòng).
Số cách sắp xếp là:
\[ Q_5 = (5-1)! = 4! = 24 \]
Công thức:
\[ Q_n = (n-1)! \]Ví dụ:
Có $5$ người xếp ngồi quanh một bàn tròn.Số cách sắp xếp là:
\[ Q_5 = (5-1)! = 4! = 24 \]
3. Hoán vị lặp
Sắp xếp \(n\) phần tử nhưng có các nhóm giống hệt nhau.
Giả sử có \(n_1, n_2, \dots\) phần tử giống nhau từng nhóm.
Có 3 chữ cái, trong đó A lặp 2 lần.
Số cách sắp xếp là:
\[ \dfrac{3!}{2!} = 3 \]
Giả sử có \(n_1, n_2, \dots\) phần tử giống nhau từng nhóm.
Công thức:
\[ P_n(n_1,n_2,\dots)=\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\,\cdots} \]Ví dụ:
Sắp xếp các chữ cái của từ "AAB".Có 3 chữ cái, trong đó A lặp 2 lần.
Số cách sắp xếp là:
\[ \dfrac{3!}{2!} = 3 \]
4. Hoán vị lệch (Derangement)
Là hoán vị của \(n\) phần tử sao cho không có phần tử nào đứng đúng vị trí ban đầu.
Ký hiệu: \(D_n\) hoặc \(!n\).
Dạng khai triển:
\[ D_n = n!\left(\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{1}{n!}\right) \]
Số cách bỏ là:
\[ D_4 = 4!\left(\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}\right)=9. \]
Ký hiệu: \(D_n\) hoặc \(!n\).
Công thức:
\[ D_n = n!\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!} \]Dạng khai triển:
\[ D_n = n!\left(\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{1}{n!}\right) \]
Ví dụ:
Có $4$ lá thư và $4$ phong bì đã ghi sẵn tên người nhận, trong đó không có lá thư nào bỏ đúng phong bì của mình.Số cách bỏ là:
\[ D_4 = 4!\left(\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}\right)=9. \]
Xem thêm bài toán về hoán vị lệch ($D_1 \to D_6$): Bấm xem.
