Khám phá phương pháp sử dụng hệ tọa độ Oxyz để tính khoảng cách trên mặt thực tế giữa hai vị trí dựa vào vĩ độ và kinh độ. Cung cấp lời giải chi tiết.
Tính khoảng cách giữa hai điểm A(0°N, 0°E) và B(45°N, 30°E) trên Trái đất
Bạn có bao giờ thắc mắc làm thế nào các ứng dụng bản đồ tính được khoảng cách giữa hai thành phố chỉ dựa vào tọa độ địa lý? Hôm nay chúng ta sẽ cùng giải mã bài toán này bằng công cụ Hình học không gian $Oxyz$ thông qua ví dụ cụ thể giữa điểm $A$ và $B$ có vĩ độ và kinh độ cho trước.Đề bài
[Luyện tập 5 - trang 58 - SGK Toán 12 tập 2 KNTT]Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí $A$ là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí $B: 45^\circ N, 30^\circ E$. Biết bán kính Trái Đất xấp xỉ $6\,371 \text{ km}$.
- Mô hình: Trái Đất được xem như một mặt cầu tâm $O$, bán kính $R = 1$ đơn vị trong không gian $Oxyz$ (tương ứng với $6\,371 \text{ km}$ thực tế).
- Hệ tọa độ:
- Gốc tọa độ $O$ tại tâm Trái Đất.
- Trục $Oz$ đi qua cực Bắc.
- Trục $Ox$ đi qua giao điểm của xích đạo và kinh tuyến gốc ($0^\circ N, 0^\circ E$).
- Công thức tọa độ: Một điểm $P$ có vĩ độ $\alpha^\circ N$ và kinh độ $\beta^\circ E$ sẽ có tọa độ là:
\[ P(\cos \alpha^\circ \cos \beta^\circ; \cos \alpha^\circ \sin \beta^\circ; \sin \alpha^\circ) \]
Lời giải chi tiết
Bước 1: Xác định tọa độ các điểm trong hệ trục $Oxyz$
Theo công thức tọa độ $P(\cos \alpha^\circ \cos \beta^\circ; \cos \alpha^\circ \sin \beta^\circ; \sin \alpha^\circ)$:
- Vị trí $A$ ($0^\circ N, 0^\circ E$): \[ A(\cos 0^\circ \cos 0^\circ; \cos 0^\circ \sin 0^\circ; \sin 0^\circ) \Rightarrow A(1; 0; 0) \]
- Vị trí $B$ ($45^\circ N, 30^\circ E$): \[ B(\cos 45^\circ \cos 30^\circ; \cos 45^\circ \sin 30^\circ; \sin 45^\circ) \Rightarrow B\left(\frac{\sqrt{6}}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]
Bước 2: Tính góc ở tâm $\widehat{AOB}$
Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ đơn vị $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$:
\[ \cos \widehat{AOB} = \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 1 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} + 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} \]
Suy ra góc ở tâm: $\widehat{AOB} = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right) \approx 52,2388^\circ$.
Bước 3: Tính độ dài cung
Độ dài cung nhỏ $\overset{\smallfrown}{AB}$ trên mặt cầu đơn vị ($R=1$) là:
\[ \ell = \frac{52,2388}{360} \cdot 2\pi \approx 0,9117 \]
Bước 4: Khoảng cách thực tế
Khoảng cách trên thực tế giữa hai vị trí $A$ và $B$ là: \[ d = 0,9117 \cdot 6\,371 \approx \mathbf{5\,808,8 \text{ (km)}} \]Kết luận
Vậy khoảng cách từ giao điểm kinh tuyến gốc và xích đạo đến điểm $B(45^\circ N, 30^\circ E)$ là xấp xỉ $\boxed{5 \,808,8}$ km.
Thử thách trải nghiệm
