Giải bài toán: 2005 số nguyên dương có tổng bằng 7022 được viết xung quanh một đường tròn

Bài toán các số nguyên dương trên đường tròn. Chứng minh sự tồn tại của 2 cặp số có tổng lớn hơn hoặc bằng 8 khi xếp 2005 số nguyên dương có tổng 7022

Bài toán Tổ hợp: Các số nguyên dương trên đường tròn

Các bài toán rời rạc về sắp xếp số trên đường tròn thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết cho câu IV trong đề khảo sát chất lượng của Trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên năm 2026.

---

Đề bài

(Đề KSCL lớp 9 - thi vào lớp 10 Chuyên KHTN 2026 đợt 3)

Cho $2005$ số nguyên dương có tổng bằng $7022$ được viết xung quanh một đường tròn. Chứng minh rằng có tồn tại ít nhất $2$ cặp số liền kề mà tổng hai số của mỗi cặp lớn hơn hoặc bằng $8$.

Lời giải chi tiết

1. Phân tích tổng thể

Giả sử các số được viết quanh đường tròn là $a_1, a_2, \dots, a_{2005}$ theo thứ tự đó. Tổng của chúng là:

$$ S = a_1 + a_2 + \dots + a_{2005} = 7022 $$

Mỗi số $a_i$ sẽ tham gia vào đúng $2$ cặp số liền kề. Do đó, tổng của tất cả $2005$ cặp số trên đường tròn là:

$$ T = 2 \times S = 2 \times 7022 = 14044 $$

2. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Giả sử ngược lại, có nhiều nhất 1 cặp số liền kề có tổng $\ge 8$.

Điều này dẫn đến có ít nhất $2004$ cặp số mà tổng của mỗi cặp chỉ tối đa là $7$.

Khi đó, tổng $T$ của tất cả các cặp sẽ thỏa mãn đánh giá:

$$ T \le (2004 \times 7) + (\text{Tổng của cặp lớn nhất}) $$ $$ 14044 \le 14028 + (\text{Tổng của cặp lớn nhất}) $$

Từ đó suy ra, tổng của cặp số lớn nhất này (giả sử là cặp $a_k, a_{k+1}$) phải thỏa mãn:

$$ a_k + a_{k+1} \ge 14044 - 14028 = 16 $$

3. Chỉ ra mâu thuẫn

Vì $a_k + a_{k+1} \ge 16$, theo nguyên lý trung bình cộng, ít nhất một trong hai số này phải lớn hơn hoặc bằng $8$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a_k \ge 8$.

Xét hai cặp số liền kề chứa $a_k$ là $(a_{k-1}, a_k)$ và $(a_k, a_{k+1})$. Vì các số là nguyên dương nên $a_{k-1} \ge 1$ và $a_{k+1} \ge 1$. Ta có:

• Cặp thứ nhất: $a_{k-1} + a_k \ge 1 + 8 = 9 \ge 8$.
• Cặp thứ hai: $a_k + a_{k+1} \ge 8 + 1 = 9 \ge 8$.

Như vậy, luôn tồn tại ít nhất 2 cặp số có tổng lớn hơn hoặc bằng $8$. Điều này mâu thuẫn với giả thiết phản chứng ban đầu.

4. Kết luận

Giả thiết phản chứng sai. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét

Điểm mấu chốt của bài toán là việc sử dụng tính chất "mỗi số được tính hai lần" khi xét tổng các cặp. Con số dư ra là $16$ sau khi chặn trên bởi các cặp có tổng bằng $7$ buộc ta phải thừa nhận sự tồn tại của một số đủ lớn để kéo theo sự vượt ngưỡng của các cặp lân cận.

Xem thêm: Đầy đủ đề thi này