Tính chi phí sản xuất đèn ngủ tạo nên từ các cung tròn ngoại tiếp tam giác

Áp dụng tích phân để tính thể tích đèn ngủ khối tròn xoay tạo ra từ các cung tròn ngoại tiếp tam giác, suy ra chi phí sản xuất đèn ngủ thực tế.

Tính chi phí sản xuất đèn ngủ - khối tròn xoay tạo nên từ các cung tròn ngoại tiếp tam giác

Các bài toán ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay là nội dung quan trọng trong chương trình Toán THPT. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết cho bài toán tính chi phí sản xuất đèn ngủ dựa trên mô hình toán học từ các cung tròn ngoại tiếp tam giác.

Đề bài toán

[Bài toán thực tế về thể tích tròn xoay - Đề thi HK2 Sở GD&ĐT Bắc Ninh 2026]

Một người thiết kế mô hình một cái đèn ngủ có hình dạng như hình vẽ 3D. Tam giác $ABC$ trong hình là tam giác đều cạnh bằng $4\sqrt{3}$ dm có trọng tâm là $G$ và $M, N, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, AC, AB$.

Phần tô đậm được tạo bởi phần giao nhau của các cặp đường tròn ngoại tiếp $\triangle AGB$ và $\triangle AGC$; $\triangle PGN$ và $\triangle PGM$; $\triangle PGN$ và $\triangle NGM$. Biết rằng chiếc đèn ngủ được tạo thành khi xoay phần tô đậm quanh trục là đường thẳng $AM$. Chi phí trung bình để sản xuất chiếc đèn ngủ là $80.000$ đồng trên mỗi dm$^3$.

Hỏi chi phí để sản xuất chiếc đèn ngủ trên bằng bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải chi tiết

1. Thiết lập hệ trục tọa độ và xác định thông số

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $M$ trùng với gốc tọa độ $O(0;0)$, trục $Oy$ nằm trên đường thẳng $MA$.

Với tam giác $ABC$ đều cạnh $a = 4\sqrt{3}$, ta có:

• Đường cao $AM = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 6$ dm.
• Trọng tâm $G$ chia $AM$ theo tỉ lệ $2:1$, suy ra $G(0;2)$ và $A(0;6)$.
• Điểm $B(-2\sqrt{3}; 0)$ và $P(-\sqrt{3}; 3)$.

2. Xác định phương trình các cung tròn biên

Cung tròn phía trên (ngoại tiếp $\triangle AGB$):

Đường tròn đi qua $A(0;6), G(0;2), B(-2\sqrt{3}; 0)$. Gọi tâm $I(x; y)$. Qua tính toán, ta có $I(-2\sqrt{3}; 4)$ và bán kính $R=4$. Phương trình cung bên phải trục $Oy$ là:

$$ x = 2\sqrt{3} - \sqrt{16 - (y-4)^2} $$

Cung tròn phía dưới (ngoại tiếp $\triangle PGM$):

Đường tròn đi qua $P(-\sqrt{3}; 3), G(0;2), M(0;0)$. Tâm $J(-\sqrt{3}; 1)$ và bán kính $R=2$. Phương trình cung bên phải trục $Oy$ là:

$$ x = \sqrt{4 - (y-1)^2} - \sqrt{3} $$

3. Tính thể tích bằng phương pháp tích phân

Thể tích tổng thể $V$ là tổng thể tích của hai phần tròn xoay tạo bởi các cung trên:

$$ V = \pi \int_{2}^{6} (2\sqrt{3} - \sqrt{16 - (y-4)^2})^2 dy + \pi \int_{0}^{2} (\sqrt{4 - (y-1)^2} - \sqrt{3})^2 dy $$

Sử dụng máy tính cầm tay hoặc tính toán tích phân, ta thu được:

$$ V \approx 4,145 + 1,770 = 5,915 \text{ (dm}^3) $$

4. Tính chi phí sản xuất

Tổng chi phí $T$ sản xuất chiếc đèn là:

$$ T = 5,915 \times 80.000 = 473.200 \text{ (đồng)} $$

5. Kết luận

Chi phí để sản xuất chiếc đèn ngủ là xấp xỉ $\boxed{473}$ nghìn đồng.

Nhận xét

Đây là một bài toán thực tế mức độ vận dụng cao. Điểm then chốt là việc sử dụng phương pháp tọa độ để xác định chính xác phương trình các cung tròn biên, từ đó thiết lập công thức tính thể tích vật thể tròn xoay một cách chuẩn xác nhất.