Chuyên đề Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=(ax+b)/(cx+d) - lý thuyết và ví dụ có lời giải, mở rộng: trục đối xứng - công thức xác định phương trình.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số nhất biến – Lý thuyết và ví dụ minh họa
Đặt vấn đề
Sau khi tìm hiểu tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba, ta tiếp tục xét một lớp hàm số rất quen thuộc trong chương trình phổ thông, đó là hàm số nhất biến có dạng
\[ y=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad (c\ne 0,\ ad-bc\ne 0). \]Đồ thị của hàm số này là một đường hyperbol gồm hai nhánh và có một tâm đối xứng duy nhất. Theo tinh thần đổi mới của chương trình GDPT, học sinh cần nhận biết nhanh tâm đối xứng thông qua hình dáng đồ thị và các đường tiệm cận, thay vì đi sâu vào các phép biến đổi hệ trục tọa độ phức tạp.
I. Cơ sở lý thuyết
1. Hình dáng hình học của đồ thị
Xét hàm số
\[ y=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad (c\ne 0,\ ad-bc\ne 0). \]Đồ thị của hàm số là một đường hyperbol gồm hai nhánh tách biệt. Hai nhánh này bị giới hạn bởi hai đường tiệm cận:
- Tiệm cận đứng: \[ x=-\frac{d}{c}. \]
- Tiệm cận ngang: \[ y=\frac{a}{c}. \]
2. Tâm đối xứng của đồ thị
Bằng trực quan hình học (ở chương trình GDPT không yêu cầu chứng minh), hai nhánh của đường hyperbol đối xứng với nhau qua một điểm duy nhất. Điểm này chính là giao điểm của hai đường tiệm cận.
Nếu:
\[ x=x_0,\qquad y=y_0 \]lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị, thì tâm đối xứng của đồ thị là:
\[ I(x_0;y_0). \]Với hàm số \[ y=\frac{ax+b}{cx+d}, \] ta có ngay:
\[ I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right). \]Tâm đối xứng của đồ thị hàm số nhất biến chính là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
II. Các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết
Ví dụ 1. Nhận biết tâm đối xứng từ phương trình cơ bản
Tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số:
\[ y=\frac{2x-1}{x+1}. \]Lời giải.
Bước 1. Tìm tiệm cận đứng.
Ta xét giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến tới nghiệm của mẫu số \(x=-1\):
\[ \lim_{x\to -1^-}\frac{2x-1}{x+1}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -1^+}\frac{2x-1}{x+1}=-\infty. \]
Do đó đường thẳng
\[ x=-1 \]là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bước 2. Tìm tiệm cận ngang.
Ta xét giới hạn của hàm số khi \(x\to \pm\infty\):
\[ \lim_{x\to +\infty}\frac{2x-1}{x+1}=2,\qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{2x-1}{x+1}=2. \]
Do đó đường thẳng
\[ y=2 \]là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bước 3. Xác định tâm đối xứng.
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận \(x=-1\) và \(y=2\).
Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là:
\[ I(-1;2). \]Ví dụ 2. Đọc đồ thị và nhận xét trực quan
Cho đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\). Biết rằng đồ thị cắt trục hoành tại điểm \((1;0)\) và có hai đường tiệm cận là
\[ x=2,\qquad y=-1. \]Hãy xác định tâm đối xứng của đồ thị và tìm công thức của hàm số.
Lời giải.
Bước 1. Xác định tâm đối xứng.
Theo lý thuyết, tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Do đó:
\[ I(2;-1). \]Bước 2. Tìm công thức hàm số.
Từ tiệm cận đứng \(x=2\), mẫu số phải có nghiệm \(x=2\), do đó mẫu số có dạng:
\[ x-2. \]Từ tiệm cận ngang \(y=-1\), hệ số của \(x\) ở tử số chia cho hệ số của \(x\) ở mẫu số phải bằng \(-1\), nên tử số có dạng:
\[ -x+b. \]Vậy hàm số có dạng:
\[ y=\frac{-x+b}{x-2}. \]Đồ thị đi qua điểm \((1;0)\), nên thay \(x=1,\ y=0\) vào ta được:
\[ 0=\frac{-1+b}{1-2}. \] \[ -1+b=0 \Rightarrow b=1. \]Vậy hàm số cần tìm là:
\[ y=\frac{-x+1}{x-2}. \]Kết luận:
- Tâm đối xứng của đồ thị là \(I(2;-1)\).
- Hàm số cần tìm là \[ y=\frac{-x+1}{x-2}. \]
Ví dụ 3. Bài toán vận dụng chứa tham số
Cho hàm số:
\[ y=\frac{mx+2}{x-m+1}. \]Tìm giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số có tâm đối xứng thuộc đường thẳng \(y=2x\).
Lời giải.
Bước 1. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
Xét hàm số:
\[ y=\frac{mx+2}{x-m+1}. \]Tìm tiệm cận đứng.
Ta có mẫu số bằng \(0\) khi:
\[ x-m+1=0 \Leftrightarrow x=m-1. \]Xét các giới hạn một bên khi \(x\to (m-1)\):
\[ \lim_{x\to (m-1)^-}\frac{mx+2}{x-m+1}=-\infty,\qquad \lim_{x\to (m-1)^+}\frac{mx+2}{x-m+1}=+\infty. \]
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
\[ x=m-1. \]Tìm tiệm cận ngang.
Ta xét giới hạn của hàm số khi \(x\to\pm\infty\):
\[ \lim_{x\to +\infty}\frac{mx+2}{x-m+1}=m,\qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{mx+2}{x-m+1}=m. \]
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
\[ y=m. \]Bước 2. Xác định tâm đối xứng của đồ thị.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số nhất biến là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Vì vậy tâm đối xứng của đồ thị là:
\[ I(m-1;m). \]Bước 3. Giải điều kiện tâm đối xứng thuộc đường thẳng.
Để \(I\) thuộc đường thẳng \(y=2x\), ta cần:
\[ m=2(m-1) \Leftrightarrow m=2. \]Vậy \(m=2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
III. Mở rộng nâng cao: Trục đối xứng của đồ thị
Ngoài tâm đối xứng, đồ thị hàm số nhất biến còn có hai trục đối xứng. Hai trục này là hai đường thẳng vuông góc với nhau tại tâm đối xứng và đồng thời là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.
Nếu tâm đối xứng của đồ thị là \(I(x_0;y_0)\), thì hai trục đối xứng có phương trình:
\[ y-y_0=x-x_0 \]và
\[ y-y_0=-(x-x_0). \]Ví dụ 4 (mở rộng nâng cao)
Với hàm số ở Ví dụ 1 \(y=\dfrac{2x-1}{x+1}\), ta đã tìm được tâm đối xứng là \(I(-1;2)\). Khi đó hai trục đối xứng của đồ thị là:
\[ y-2=x+1 \Leftrightarrow y=x+3, \] \[ y-2=-(x+1) \Leftrightarrow y=-x+1. \]Hình vẽ minh hoạ
IV. Kết luận
Với hàm số nhất biến
\[ y=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad (c\ne 0,\ ad-bc\ne 0), \]tâm đối xứng của đồ thị luôn là giao điểm của hai đường tiệm cận:
\[ I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right). \]Đây là một tính chất rất quan trọng, giúp học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về đồ thị mà không cần thực hiện các phép biến đổi phức tạp.
