Bài tập 1. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-3$, ${{u}_{6}}=27$. Tính công sai $d$. Lời giải Ta có ${{u}_{6}}={{u...
Bài tập 1.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-3$, ${{u}_{6}}=27$. Tính công sai $d$.Lời giải
Ta có ${{u}_{6}}={{u}_{1}}+5d=27$ $\Rightarrow d=6$.
Bài tập 2.
Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của nó.a) Dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$ , với ${{a}_{n}}=4n-3$.
b) Dãy số $\left( {{b}_{n}} \right)$, với ${{b}_{n}}=\dfrac{2-3n}{4}$.
Lời giải
Phương pháp: Để chứng minh dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$ là một hằng số với mọi số nguyên dương $n$.
a) Ta có ${{a}_{n+1}}=4\left( n+1 \right)-3=4n+1$ nên ${{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=\left( 4n+1 \right)-\left( 4n-3 \right)=4,\,\forall n\ge 1$. Do đó $\left( {{a}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với số hạng đầu ${{a}_{1}}=1$ và công sai $d=4$.
b) Ta có ${{b}_{n+1}}=\dfrac{2-3\left( n+1 \right)}{4}=\dfrac{-1-3n}{4}$ nên ${{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}=\dfrac{-1-3n}{4}-\dfrac{2-3n}{4}=-\dfrac{3}{4},\,\forall n\ge 1$.
Suy ra $\left( {{b}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với số hạng đầu ${{b}_{1}}=-\dfrac{1}{4}$ và công sai $d=-\dfrac{3}{4}$.
Bài tập 3.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có $7$ số hạng với số hạng đầu ${{u}_{1}}=\dfrac{2}{3}$ và công sai $d=-\dfrac{4}{3}$. Viết dạng khai triển của cấp số cộng đó.Lời giải
Ta có ${{u}_{2}}={{u}_{1}}+d=-\dfrac{2}{3}$; ${{u}_{3}}={{u}_{2}}+d=-2$; ${{u}_{4}}={{u}_{3}}+d=-\dfrac{10}{3}$; ${{u}_{5}}={{u}_{4}}+d=-\dfrac{14}{3}$; ${{u}_{6}}={{u}_{5}}+d=-6$; ${{u}_{7}}={{u}_{6}}+d=-\dfrac{22}{3}$.
Vậy dạng khai triển của cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ là $\dfrac{2}{3};\,-\dfrac{2}{3};\,-2;\,-\dfrac{10}{3};\,-\dfrac{14}{3};\,-6;\,-\dfrac{22}{3}.$
Bài tập 4.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=2$ và $d=-5$.a) Tìm ${{u}_{20}}$.
b) Số $-2018$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
Lời giải
a) Ta có ${{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=2+19.\left( -5 \right)=-93$.
b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d=7-5n$.
Vì ${{u}_{n}}=-2018$ nên $7-5n=-2018$ $\Leftrightarrow n=405$.
Do $n=405$ là số nguyên dương nên số $-2018$ là số hạng thứ $405$ của cấp số cộng đã cho.
Bài tập 5.
a) Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$có ${{u}_{99}}=101$ và ${{u}_{101}}=99$. Tìm ${{u}_{100}}$.b) Cho cấp số cộng $-2;\,x;\,6;\,y.$ Tính giá trị của biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$.
Lời giải
a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có ${{u}_{100}}=\dfrac{{{u}_{99}}+{{u}_{101}}}{2}$ nên ${{u}_{100}}=100$.
b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có $x=\dfrac{-2+6}{2}=2$ và $6=\dfrac{x+y}{2}$.
Vì $x=2$ nên $y=10$.
Vậy $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{2}}+{{10}^{2}}=104$.
Bài tập 6.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-2$ và $d=3$.a) Tính tổng của $25$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
b) Biết ${{S}_{n}}=6095374$, tìm $n$.
Lời giải
Ta có ${{S}_{n}}=n{{u}_{1}}+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}d$ $=-2n+\dfrac{3\left( {{n}^{2}}-n \right)}{2}$ $=\dfrac{n\left( 3n-7 \right)}{2}.$
a) Ta có ${{S}_{25}}=\dfrac{25\left( 3.25-7 \right)}{2}=850$.
b) Vì ${{S}_{n}}=6095374$ nên $\dfrac{n\left( 3n-7 \right)}{2}=6095374$ $\Leftrightarrow 3{{n}^{2}}-7n-12190748=0.$
Giải phương trình bậc hai trên với $n$ nguyên dương, ta tìm được $n=2017$.
Xem thêm: + Lí thuyết: định nghĩa, công thức cấp số cộng.
+ Bài tập Cấp số cộng có lời giải: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5 - Phần 6 - Phần 7.
