I. ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG Định nghĩa CSC Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều ...
I. ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG
Định nghĩa CSC
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$.Số không đổi $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.
Công thức truy hồi
Từ định nghĩa, ta có:Nếu $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d$, ta có công thức truy hồi $u_{n+1}=u_n+d,\ \forall n \in \mathbb{N}^*.$
Đặc biệt
Khi $d=0$ thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).Tính tăng, giảm
1) Cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai $d>0$.2) Cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai $d\lt 0$.
Cách chứng minh dãy số là CSC
Để chứng minh dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$ là một hằng số với mọi số nguyên dương $n$.II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG
Công thức tính số hạng thứ n
Nếu cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ được xác định bởi công thức: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d,\,\forall n\ge 2.$Hệ quả
Từ kết quả trên, ta rút ra nhận xét sau:Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ biết hai số hạng (khác nhau) ${{u}_{p}}$ và ${{u}_{q}}$ thì số hạng đầu và công sai được tính theo công thức:
$d=\dfrac{{{u}_{p}}-{{u}_{q}}}{p-q}$.
${{u}_{1}}={{u}_{p}}-\left( p-1 \right)d.$
III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG
Tính chất
Trong một cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là ${{u}_{k}}=\dfrac{{{u}_{k-1}}+{{u}_{k+1}}}{2}$ với $k\ge 2.$Tổng quát
Một cách tổng quát, ta có: Nếu $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng thì ${{u}_{p}}=\dfrac{{{u}_{p-k}}+{{u}_{p+k}}}{2}$, $1\le k\lt p.$IV. TỔNG $n$ SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$. Đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}.$ Khi đó: $${{S}_{n}}=\frac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}$$ hoặc $${{S}_{n}}=n{{u}_{1}}+\frac{n\left( n-1 \right)d}{2}$$ hoặc $${{S}_{n}}=\frac{n}{2}\left[2u_{1}+\left( n-1 \right)d\right ].$$Xem thêm: + Lí thuyết: định nghĩa, công thức cấp số cộng.
+ Bài tập Cấp số cộng có lời giải: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5 - Phần 6 - Phần 7.
