Bài tập 16. Người ta trồng $465$ cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có $1$ cây, hàng thứ hai có $2$ cây, hàng thứ ...
Bài tập 16.
Người ta trồng $465$ cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có $1$ cây, hàng thứ hai có $2$ cây, hàng thứ ba có $3$ cây….Số hàng cây trong khu vườn là A. $31$.B. $30$.
C. $29$.
D. $28$.
Lời giải
Chọn B
Cách trồng $465$ cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với số ${{u}_{n}}$ là số cây ở hàng thứ $n$ và ${{u}_{1}}=1$ và công sai $d=1$.
Tổng số cây trồng được là: ${{S}_{n}}=465$ $\Leftrightarrow \dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}=465$ $\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-930=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & n=30 \\ & n=-31\left( l \right) \\ \end{align} \right.$
Như vậy số hàng cây trong khu vườn là $30$.
Bài tập 17.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=3$ và công sai $d=7$ . Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của $\left( {{u}_{n}} \right)$ đều lớn hơn $2018$?A. $287$.
B. $289$.
C. $288$.
D. $286$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$ $=3+7\left( n-1 \right)$ $=7n-4$ ; ${{u}_{n}}>2018$ $\Leftrightarrow 7n-4>2018$ $\Leftrightarrow n>\dfrac{2022}{7}.$
Vậy $n=289$.
Bài tập 18.
Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng $28$ và tổng các bình phương của chúng bằng $276$. Tích của bốn số đó là :A. $585$.
B. $161$.
C. $404$.
D. $276$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $4$ số cần tìm là $a-3r$, $a-r$, $a+r$ , $a+3r$.
Ta có: $\left\{ \begin{align} & a-3r+a-r+a+r+a+3r=28 \\ & {{\left( a-3r \right)}^{2}}+{{\left( a-r \right)}^{2}}+{{\left( a+r \right)}^{2}}+{{\left( a+3r \right)}^{2}}=276 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=7 \\ & {{r}^{2}}=4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=7 \\ & r=\pm 2 \\ \end{align} \right.$.
Bốn số cần tìm là $1$, $5$, $9$, $13$ có tích bằng $585$.
Bài tập 19.
Chu vi một đa giác là $158cm$ , số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai $d=3cm$ . Biết cạnh lớn nhất là $44cm$ . Số cạnh của đa giác đó là?A. $3$ .
B. $4$ .
C. $5$ .
D. $6$ .
Lời giải
Chọn B
Giả sử đã giác đã cho có $n$ cạnh thì chu vi của đa giác là:${{S}_{n}}=\dfrac{\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)n}{2}$ với ${{u}_{1}}$ là cạnh nhỏ nhất. Suy ra: $158=\dfrac{\left( {{u}_{1}}+44 \right)n}{2}$ $\Leftrightarrow 316=\left( {{u}_{1}}+44 \right)n$ $\Leftrightarrow {{2}^{2}}.79=\left( {{u}_{1}}+44 \right)n$
Do đó ${{u}_{1}}+44$ là ước nguyên dương của $316={{2}^{2}}.79$ và đa giác có ít nhất ba cạnh nên $\dfrac{316}{3}>{{u}_{1}}+44>44$ . Suyra:${{u}_{1}}+44=79\Leftrightarrow {{u}_{1}}=35$ .
Số cạnh của đa giác đã cho là: $\dfrac{44-35}{3}+1=4$ .
Bài tập 20.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ biết ${{u}_{5}}=18$ và $4{{S}_{n}}={{S}_{2n}}$ . Tìm số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}$ và công sai $d$ của cấp số cộng.A. ${{u}_{1}}=2$ ;$d=4$ .
B. ${{u}_{1}}=2$ ; $\,d=3$ .
C. ${{u}_{1}}=2$ ; $d=2$ .
D. ${{u}_{1}}=3$ ;$d=2$ .
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${{u}_{5}}=18\Leftrightarrow {{u}_{1}}+4d=18$ $\left( 1 \right)$ .
$4{{S}_{n}}={{S}_{2n}}$ $\Leftrightarrow 4\left[ n{{u}_{1}}+\dfrac{n\left( n-1 \right)d}{2} \right]=\left[ 2n{{u}_{1}}+\dfrac{2n\left( 2n-1 \right)d}{2} \right]$ $\Leftrightarrow 4{{u}_{1}}+2nd-2d=2{{u}_{1}}+2nd-d$ $\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}-d=0$ $\left( 2 \right)$ .
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra ${{u}_{1}}=2$ ;$d=4$ .
Bài tập 21.
Cho hai cấp số cộng $\left( {{x}_{n}} \right):4$ , $7$, $10$,… và $\left( {{y}_{n}} \right)$ : $1$, $6$, $11$,…. Hỏi trong $2018$ số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung?A. $404$ .
B. $673$ .
C. $403$ .
D. $672$ .
Lời giải
Chọn C
Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{x}_{n}} \right)$ là: ${{x}_{n}}=4+\left( n-1 \right).3$ $=3n+1$.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{y}_{n}} \right)$ là: ${{y}_{m}}=1+\left( m-1 \right).5$ $=5m-4$.
Giả sử $k$ là $1$ số hạng chung của hai cấp số cộng trong $2018$ số hạng đầu tiên của mỗi cấp số.
Vì $k$ là $1$ số hạng của cấp số cộng $\left( {{x}_{n}} \right)$ nên $k=3i+1$ với $1\le i\le 2018$ và $i\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Vì $k$ là $1$ số hạng của cấp số cộng $\left( {{y}_{n}} \right)$ nên $k=5j-4$ với $1\le j\le 2018$ và $j\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Do đó $3i+1=5j-4$ $\Rightarrow 3i=5j-5$ $\Rightarrow i\vdots 5$, nên có $403$ số hạng chung.
Bài tập 22.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-2$ và công sai $d=3$. Tìm số hạng ${{u}_{10}}$.A. ${{u}_{10}}=-{{2.3}^{9}}$.
B. ${{u}_{10}}=25$.
C. ${{u}_{10}}=28$.
D. ${{u}_{10}}=-29$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${{u}_{10}}={{u}_{1}}+9d$ $=-2+9.3=25$.
Bài tập 23.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=11$ và công sai $d=4$ . Hãy tính ${{u}_{99}}$ .A. $401$.
B. $403$.
C. $402$.
D. $404$.
Lời giải
Chọn B
Ta có : ${{u}_{99}}={{u}_{1}}+98d$ $=11+98.4$ $=403$.
Xem thêm: + Lí thuyết: định nghĩa, công thức cấp số cộng.
+ Bài tập Cấp số cộng có lời giải: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5 - Phần 6.
