Bài hình học ở đề thi IMO 2025 được đề xuất bởi người Việt

Bài 2 (có nội dung về hình học phẳng) ở đề thi Olympic toán quốc tế IMO 2025 được đề xuất bởi một thầy giáo người Việt. Tác giả Bài 2 IMO 20...

Bài 2 (có nội dung về hình học phẳng) ở đề thi Olympic toán quốc tế IMO 2025 được đề xuất bởi một thầy giáo người Việt.

Tác giả Bài 2 IMO 2025

Tác giả bài toán này là thầy Trần Quang Hùng, GV trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên - ĐHQGHN. Thầy Hùng là người Việt thứ 4 có bài toán xuất hiện ở đề thi IMO.

Bài 2 - IMO 2025 (Vie.)

Cho các đường tròn $\Omega$ và $\Gamma$ có tâm tương ứng là $M$ và $N$ sao cho bán kính của $\Omega$ nhỏ hơn bán kính của $\Gamma$. Giả sử các đường tròn $\Omega$ và $\Gamma$ cắt nhau tại các điểm phân biệt $A$ và $B$. Đường thẳng $MN$ cắt $\Omega$ tại điểm $C$ và cắt $\Gamma$ tại điểm $D$, sao cho thứ tự các điểm trên đường thẳng đó lần lượt là $C, M, N$ và $D$. Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$. Đường thẳng $AP$ cắt lại $\Omega$ tại điểm $E \ne A$. Đường thẳng $AP$ cắt lại $\Gamma$ tại điểm $F \ne A$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $PMN$.
Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $H$ và song song với $AP$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEF$.
(Trực tâm của một tam giác là giao điểm của các đường cao của nó.)

Problem 2 - IMO 2025 (Eng.)

Let $\Omega$ and $\Gamma$ be circles with centres $M$ and $N$, respectively, such that the radius of $\Omega$ is less than the radius of $\Gamma$. Suppose $\Omega$ and $\Gamma$ intersect at two distinct points $A$ and $B$. Line $MN$ intersects $\Omega$ at $C$ and $\Gamma$ at $D$, so that $C, M, N, D$ lie on $MN$ in that order. Let $P$ be the circumcentre of triangle $ACD$. Line $AP$ meets $\Omega$ again at $E \ne A$ and meets $\Gamma$ again at $F \ne A$. Let $H$ be the orthocentre of triangle $PMN$.
Prove that the line through $H$ parallel to $AP$ is tangent to the circumcircle of triangle $BEF$.

Lời giải Bài 2 IMO 2025

Xem 9 cách giải của Bài 2 này: BẤM XEM.

Xem thêm: Full đề IMO 2025 Ngày 1 - Ngày 2.